Cho đoạn thẳng $ AB $ có độ dài bằng $ 2. $ Một điểm $ M $ di động sao cho $ \left | { \overset\rightarrow { MA }+\overset\rightarrow { MB } } \right |=\left | { \overset\rightarrow { MA }-\overset\rightarrow { MB } } \right | $. Gọi $ H $ là hình chiếu của $ M $ lên $ AB $. Tính độ dài lớn nhất của $ MH $?

Xét trường hợp $ M,\ A,\ B $ thẳng hàng, ta thấy chỉ khi $ M $ trùng $ A $ hay $ M $ trùng $ B $ thì thỏa mãn $ \left | { \overset\rightarrow { MA }+\overset\rightarrow { MB } } \right |=\left | { \overset\rightarrow { MA }-\overset\rightarrow { MB } } \right | $. Xét trường hợp $ M,\ A,\ B $ không thẳng hàng, ta gọi $ N $ là đỉnh thứ 4 của hình bình hành $ MANB $. Khi đó $ \overset\rightarrow { MA }+\overset\rightarrow { MB }=\overset\rightarrow { MN } $. Ta có: $ \left | { \overset\rightarrow { MA }+\overset\rightarrow { MB } } \right |=\left | { \overset\rightarrow { MA }-\overset\rightarrow { MB } } \right |⇔\left | { \overset\rightarrow { MN } } \right |=\left | { \overset\rightarrow { BA } } \right | $ hay $ MN=AB $. Suy ra $ MANB $ là hình chữ nhật nên $ \widehat { AMB }=90 ^ { o } $. Do đó tập hợp các điểm $ M $ thỏa mãn $ \left | { \overset\rightarrow { MA }+\overset\rightarrow { MB } } \right |=\left | { \overset\rightarrow { MA }-\overset\rightarrow { MB } } \right | $ là đường tròn tâm $ O $ đường kính $ AB $. $ MH $ lớn nhất khi $ H $ trùng với tâm $ O $ hay độ dài lớn nhất của $ MH $ là $ MO=\frac { AB } { 2 }=\frac { 2 } { 2 }=1. $