Cho tam giác đều $ ABC $ có cạnh bằng $ 6\sqrt[] { 3 } $, trọng tâm $ G $. Khi đó giá trị $ \left | { \overset\rightarrow { GB }+\overset\rightarrow { GC }+\overset\rightarrow { AG } } \right | $ bằng:

Gọi M là trung điểm của BC; I là đỉnh hình bình hành $ GBIC $ Theo tính chất trọng tâm trong tam giác $ ΔABC $ có $ AG=2GM $ Ta có: $ \overset\rightarrow { GB }+\overset\rightarrow { GC }=\overset\rightarrow { GI } $. Do đó $ \overset\rightarrow { GB }+\overset\rightarrow { GC }+\overset\rightarrow { AG }=\overset\rightarrow { GI }+\overset\rightarrow { AG }=\overset\rightarrow { AI } $. Vậy $ \left | { \overset\rightarrow { GB }+\overset\rightarrow { GC }+\overset\rightarrow { AG } } \right |=\left | { \overset\rightarrow { AI } } \right |=AI=\frac { 4 } { 3 }AM $. Xét $ Δ\,ABC $ đều cạnh $ 6\sqrt[] { 3 } ⇒AM=\frac { 6\sqrt[] { 3 }.\sqrt[] { 3 } } { 2 }=9 ⇒AI=12 $. Vậy $ \left | { \overset\rightarrow { GB }+\overset\rightarrow { GC }+\overset\rightarrow { AG } } \right |=AI=12 $.