Gọi $ G $ là trọng tâm tam giác vuông cân$ ABC $, với cạnh huyền $ BC=36 $. Biết $ \left | { \overset\rightarrow { GA }+\overset\rightarrow { GC } } \right |=a\sqrt[] { 10 } $. Tìm $ a $.

$ \overset\rightarrow { GA }+\overset\rightarrow { GB }+\overset\rightarrow { GC }=0⇔\overset\rightarrow { GA }+\overset\rightarrow { GC }=\overset\rightarrow { BG } $. Khi đó $ \left | { \overset\rightarrow { GA }+\overset\rightarrow { GC } } \right |=\left | { \overset\rightarrow { BG } } \right |=BG=\frac { 2 } { 3 }BM $( $ M $là trung điểm cạnh $ AC $). $ ΔABC $vuông cân tại $ A $nên $ AB=AC=18\sqrt[] { 2 } $. $ BM=\sqrt[] { AB ^ { 2 } +AM ^ { 2 } }=\sqrt[] { \left ( { 18\sqrt[] { 2 } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { 9\sqrt[] { 2 } } \right ) ^ { 2 } }=9\sqrt[] { 10 } $. Vậy $ \left | { \overset\rightarrow { GA }+\overset\rightarrow { GC } } \right |=\frac { 2 } { 3 }.9\sqrt[] { 10 }=6\sqrt[] { 10 } $.Vậy $ a=6 $.