Bài tập nâng cao · Bài 16
Bài tập nâng cao Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit · Bài 16
Giải phương trình $8^{x+1}+8\cdot (0,5)^{3x}+3\cdot 2^{x+3}=125-24\cdot (0,5)^{x}$.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có:
$\begin{array}{l} 8^{x+1}+8\cdot (0,5)^{3x}+3\cdot 2^{x+3}=125-24\cdot (0,5)^{x}\Leftrightarrow 8\cdot 2^{3x}+8\cdot \frac{1}{2^{3x}}+24\cdot 2^{x}+24\cdot \frac{1}{2^{x}}-125=0 \\ \Leftrightarrow 8\left( 2^{3x}+\frac{1}{2^{3x}} \right)+24\left( 2^{x}+\frac{1}{2^{x}} \right)-125=0. \end{array}$
Đặt $t=2^{x}+\frac{1}{2^{x}}(t\geq 2)$. Khi đó $2^{3x}+\frac{1}{2^{3x}}=t^{3}-3t$.
Phương trình trở thành $8\left( t^{3}-3t \right)+24t-125=0\Leftrightarrow 8t^{3}-125=0\Leftrightarrow t=\frac{5}{2}$.
Khi đó $2^{x}+\frac{1}{2^{x}}=\frac{5}{2}\Leftrightarrow \left( 2^{x} \right)^{2}-\frac{5}{2}\cdot 2^{x}+1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=1 \\ x=-1 \end{array} \right.$
$\begin{array}{l} 8^{x+1}+8\cdot (0,5)^{3x}+3\cdot 2^{x+3}=125-24\cdot (0,5)^{x}\Leftrightarrow 8\cdot 2^{3x}+8\cdot \frac{1}{2^{3x}}+24\cdot 2^{x}+24\cdot \frac{1}{2^{x}}-125=0 \\ \Leftrightarrow 8\left( 2^{3x}+\frac{1}{2^{3x}} \right)+24\left( 2^{x}+\frac{1}{2^{x}} \right)-125=0. \end{array}$
Đặt $t=2^{x}+\frac{1}{2^{x}}(t\geq 2)$. Khi đó $2^{3x}+\frac{1}{2^{3x}}=t^{3}-3t$.
Phương trình trở thành $8\left( t^{3}-3t \right)+24t-125=0\Leftrightarrow 8t^{3}-125=0\Leftrightarrow t=\frac{5}{2}$.
Khi đó $2^{x}+\frac{1}{2^{x}}=\frac{5}{2}\Leftrightarrow \left( 2^{x} \right)^{2}-\frac{5}{2}\cdot 2^{x}+1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=1 \\ x=-1 \end{array} \right.$