Bài tập nâng cao · Bài 44
Bài tập nâng cao Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp · Bài 44
Từ các số $1,2,3$ lập được bao nhiêu số tự nhiên có $6$ chữ số sao cho mỗi chữ số có mặt đúng hai lần và hai chữ số giống nhau không đứng cạnh nhau?
Xem lời giải
Lời giải
Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 6 chữ số được lập từ tập $\left\{ \begin{array}{l} 1;2;3 \end{array} \right\}$ sao cho trong mỗi số thỏa mãn 2 điều kiện: mỗi chữ số xuất hiện đúng 2 lần và hai chữ số giống nhau không đứng cạnh nhau.
Số tự nhiên có 6 chữ số là hoán vị của 6 phần tử 1; 1; 2; 2; 3; 3: $\frac{6!}{2!2!2!}=90$ số
- Gọi $S_{1}$ là số các số tự nhiên có đúng một cặp chữ số kề nhau, giống nhau trong tập các số tự nhiên kể trên, ta tính $S_{1}$:
+ Chọn 2 vị trí kề nhau cho cặp chữ số giống nhau: 5 cách
+ Điền 2 chữ số giống nhau vào hai vị trí đã chọn: 3 cách
+ Điền 4 chữ số còn lại: Nếu cặp chữ số kề nhau, giống nhau đứng chính giữa thì có 4 cách, trường hợp khác có 2 cách.
Suy ra có: $4.3.2+1.4.3=36$ số.
- Gọi $S_{2}$ là số các số tự nhiên có đúng hai cặp chữ số kề nhau, giống nhau trong tập các số tự nhiên kể trên, ta tính $S_{2}$:
+ Chọn 2 cặp vị trí kề nhau (sao cho 2 vị trí còn lại không kề nhau): 3 cách
+ Chọn 2 cặp chữ số giống nhau điền vào 2 cặp vị trí đã chọn: 3.2 = 6 cách
+ Điền chữ số còn lại vào 2 vị trí không kề nhau: 1 cách
Suy ra có: $3.6=18$ số.
- Gọi $S_{3}$ là số các số tự nhiên có đúng ba cặp chữ số kề nhau, giống nhau trong tập các số tự nhiên kể trên, có $3!=6$ số
Vậy có: $90-36-18-6=30$ số
Cách 2:
Xếp chữ số 1 và chữ số 2 trước:
TH1: 1…12…2: chữ số 3 có 1 cách sắp xếp vào vị trí dấu “…”
2…21…1: chữ số 3 có 1 cách sắp xếp vào vị trí dấu “…”
TH2: …2…1…1…2…: điền chữ số 3 vào 2 vị trí “…” có 4 cách
…1…2…2…1…: điền chữ số 3 vào 2 vị trí “…” có 4 cách
TH3: …1…2…1…2…: điền chữ số 3 vào 2 vị trí “…” có $C_{5}^{2}=10$ cách
…2…1…2…1…: điền chữ số 3 vào 2 vị trí “…” có $C_{5}^{2}=10$ cách
Vậy có: $1+1+4+4+10+10=30$ số
Số tự nhiên có 6 chữ số là hoán vị của 6 phần tử 1; 1; 2; 2; 3; 3: $\frac{6!}{2!2!2!}=90$ số
- Gọi $S_{1}$ là số các số tự nhiên có đúng một cặp chữ số kề nhau, giống nhau trong tập các số tự nhiên kể trên, ta tính $S_{1}$:
+ Chọn 2 vị trí kề nhau cho cặp chữ số giống nhau: 5 cách
+ Điền 2 chữ số giống nhau vào hai vị trí đã chọn: 3 cách
+ Điền 4 chữ số còn lại: Nếu cặp chữ số kề nhau, giống nhau đứng chính giữa thì có 4 cách, trường hợp khác có 2 cách.
Suy ra có: $4.3.2+1.4.3=36$ số.
- Gọi $S_{2}$ là số các số tự nhiên có đúng hai cặp chữ số kề nhau, giống nhau trong tập các số tự nhiên kể trên, ta tính $S_{2}$:
+ Chọn 2 cặp vị trí kề nhau (sao cho 2 vị trí còn lại không kề nhau): 3 cách
+ Chọn 2 cặp chữ số giống nhau điền vào 2 cặp vị trí đã chọn: 3.2 = 6 cách
+ Điền chữ số còn lại vào 2 vị trí không kề nhau: 1 cách
Suy ra có: $3.6=18$ số.
- Gọi $S_{3}$ là số các số tự nhiên có đúng ba cặp chữ số kề nhau, giống nhau trong tập các số tự nhiên kể trên, có $3!=6$ số
Vậy có: $90-36-18-6=30$ số
Cách 2:
Xếp chữ số 1 và chữ số 2 trước:
TH1: 1…12…2: chữ số 3 có 1 cách sắp xếp vào vị trí dấu “…”
2…21…1: chữ số 3 có 1 cách sắp xếp vào vị trí dấu “…”
TH2: …2…1…1…2…: điền chữ số 3 vào 2 vị trí “…” có 4 cách
…1…2…2…1…: điền chữ số 3 vào 2 vị trí “…” có 4 cách
TH3: …1…2…1…2…: điền chữ số 3 vào 2 vị trí “…” có $C_{5}^{2}=10$ cách
…2…1…2…1…: điền chữ số 3 vào 2 vị trí “…” có $C_{5}^{2}=10$ cách
Vậy có: $1+1+4+4+10+10=30$ số