Bài tự luận · Bài 28
Bài tự luận Ôn tập Dãy số – Cấp số cộng – Cấp số nhân 11 · Bài 28
Cho miếng giấy hình tam giác$ ABC $. Cắt tam giác này dọc theo ba đường trung bình của nó ta thu được 4 tam giác mới, gọi số tam giác có được là $ T_{ 1 } $. Chọn 1 trong 4 tam giác được tạo thành và cắt nó theo ba đường trung bình, số tam giác vừa nhận được do việc cắt $ T_{ 1 } $ là $ T_{ 2 } $. Lặp lại quá trình này ta nhận được một dãy vô hạn các tam giác $ T_{ 1 } ,T_{ 2 } ,T_{ 3 } ,\ldots ,T_{ n } $. Hãy tính tổng 50 số hạng đầu tiên của dãy số $ (T_{ n } ) $.
Xem lời giải
Lời giải
Ta thấy lần cắt 1 có 4 tam giác được tạo thành, suy ra $ u_{ 1 } =4 $
Lần cắt 2, trong số $ u_{ 1 } =4 $ tam giác có được sau lần cắt 1 thì sẽ có $ u_{ 1 } -1 $ tam giác được giữ nguyên và một tam giác được cắt ra làm 4 tam giác. Do đó số tam giác tạo thành sau lần cắt 2 là $ u_{ 2 } =(u_{ 1 } -1)+4=u_{ 1 } +3=7 $
Lần cắt 3, trong số $ u_{ 2 } =7 $ tam giác có được sau lần cắt 2 thì sẽ có $ u_{ 2 } -1 $ tam giác được giữ nguyên và một tam giác được cắt ra làm 4 tam giác. Do đó số tam giác tạo thành sau lần cắt 3 là $ u_{ 3 } =(u_{ 2 } -1)+4=u_{ 2 } +3=10 $
Lần cắt $ n $, trong số $ u_{ n-1 } $ tam giác có được sau lần cắt $ n-1 $ thì sẽ có $ u_{ n-1 } -1 $ tam giác được giữ nguyên và một tam giác được cắt ra làm 4 tam giác. Do đó số tam giác tạo thành sau lần cắt $ n $ là $ u_{ n } =u_{ 1 } +(n-1)d=4+(n-1)3=3n+1 $
Vậy dãy $ (T_{ n } ) $ là cấp số cộng có $ u_{ 1 } =4 $, công sai $ d=3 $
Tổng 50 số hạng đầu tiên của dãy số $ S_{ 50 } =\frac { 50(2\cdot 4+49\cdot 3) } { 2 }=3875 $
Lần cắt 2, trong số $ u_{ 1 } =4 $ tam giác có được sau lần cắt 1 thì sẽ có $ u_{ 1 } -1 $ tam giác được giữ nguyên và một tam giác được cắt ra làm 4 tam giác. Do đó số tam giác tạo thành sau lần cắt 2 là $ u_{ 2 } =(u_{ 1 } -1)+4=u_{ 1 } +3=7 $
Lần cắt 3, trong số $ u_{ 2 } =7 $ tam giác có được sau lần cắt 2 thì sẽ có $ u_{ 2 } -1 $ tam giác được giữ nguyên và một tam giác được cắt ra làm 4 tam giác. Do đó số tam giác tạo thành sau lần cắt 3 là $ u_{ 3 } =(u_{ 2 } -1)+4=u_{ 2 } +3=10 $
Lần cắt $ n $, trong số $ u_{ n-1 } $ tam giác có được sau lần cắt $ n-1 $ thì sẽ có $ u_{ n-1 } -1 $ tam giác được giữ nguyên và một tam giác được cắt ra làm 4 tam giác. Do đó số tam giác tạo thành sau lần cắt $ n $ là $ u_{ n } =u_{ 1 } +(n-1)d=4+(n-1)3=3n+1 $
Vậy dãy $ (T_{ n } ) $ là cấp số cộng có $ u_{ 1 } =4 $, công sai $ d=3 $
Tổng 50 số hạng đầu tiên của dãy số $ S_{ 50 } =\frac { 50(2\cdot 4+49\cdot 3) } { 2 }=3875 $