Bài tự luận · Bài 10
Dạng 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng, đoạn hay nửa khoảng
Bài tự luận Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số · Bài 10
(KNTT12) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:
a) $ f(x)=x\sqrt[] { 4-x ^ { 2 } },-2\leq x\leq 2 $;
b) $ f(x)=x-\cos x,-\frac { \pi } { 2 }\leq x\leq \frac { \pi } { 2 } $.
a) $ f(x)=x\sqrt[] { 4-x ^ { 2 } },-2\leq x\leq 2 $;
b) $ f(x)=x-\cos x,-\frac { \pi } { 2 }\leq x\leq \frac { \pi } { 2 } $.
Xem lời giải
Lời giải
a) Ta có: $ f ^ { ′ } (x)=\sqrt[] { 4-x ^ { 2 } }+\frac { -x ^ { 2 } } { \sqrt[] { 4-x ^ { 2 } } }=\frac { 4-2x ^ { 2 } } { \sqrt[] { 4-x ^ { 2 } } } $
$ f ^ { ′ } (x)=0\Leftrightarrow x=\sqrt[] { 2 } $ hoặc $ x=-\sqrt[] { 2 }. \\ f(-2)=f(2)=0;f(\sqrt[] { 2 })=2;f(-\sqrt[] { 2 })=-2. $
Do đó, $ min_{ [-2;2] } f(x)=f(-\sqrt[] { 2 })=-2;max_{ [-2;2] } f(x)=f(\sqrt[] { 2 })=2 $.
b) Ta có: $ f ^ { ′ } (x)=1+\sin x; $ trong khoảng $ \left ( { -\frac { \pi } { 2 };\frac { \pi } { 2 } } \right ) $, phương trình $ f ^ { ′ } (x)=0 $ vô nghiệm;
$ f\left ( { \frac { \pi } { 2 } } \right )=\frac { \pi } { 2 };f\left ( { -\frac { \pi } { 2 } } \right )=-\frac { \pi } { 2 }. $
Vậy $ min_{ \left[ -\frac { \pi } { 2 };\frac { \pi } { 2 } \right] } f(x)=f\left ( { -\frac { \pi } { 2 } } \right )=-\frac { \pi } { 2 };max_{ \left[ -\frac { \pi } { 2 };\frac { \pi } { 2 } \right] } f(x)=f\left ( { \frac { \pi } { 2 } } \right )=\frac { \pi } { 2 } $.
$ f ^ { ′ } (x)=0\Leftrightarrow x=\sqrt[] { 2 } $ hoặc $ x=-\sqrt[] { 2 }. \\ f(-2)=f(2)=0;f(\sqrt[] { 2 })=2;f(-\sqrt[] { 2 })=-2. $
Do đó, $ min_{ [-2;2] } f(x)=f(-\sqrt[] { 2 })=-2;max_{ [-2;2] } f(x)=f(\sqrt[] { 2 })=2 $.
b) Ta có: $ f ^ { ′ } (x)=1+\sin x; $ trong khoảng $ \left ( { -\frac { \pi } { 2 };\frac { \pi } { 2 } } \right ) $, phương trình $ f ^ { ′ } (x)=0 $ vô nghiệm;
$ f\left ( { \frac { \pi } { 2 } } \right )=\frac { \pi } { 2 };f\left ( { -\frac { \pi } { 2 } } \right )=-\frac { \pi } { 2 }. $
Vậy $ min_{ \left[ -\frac { \pi } { 2 };\frac { \pi } { 2 } \right] } f(x)=f\left ( { -\frac { \pi } { 2 } } \right )=-\frac { \pi } { 2 };max_{ \left[ -\frac { \pi } { 2 };\frac { \pi } { 2 } \right] } f(x)=f\left ( { \frac { \pi } { 2 } } \right )=\frac { \pi } { 2 } $.