Cho hàm số $ y=ax ^ { 2 } +bx+c{ \rm{ } } $ với các hệ số $ a,\,\,b,\,\,c∈\mathbb{R} $. Biết rằng hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng $ 4 $ tại $ x=2 $ và đồ thị của nó cắt trục tung tại điểm có tung độ là $ 8 $. Khi đó giá trị của biểu thức $ 2a+3b-6c $ bằng

Tập xác định:$ D=\mathbb{R} $. Trên $ \mathbb{R} $ hàm số $ y=ax ^ { 2 } +bx+c $ có giá trị nhỏ nhất nên $ a>0 $. Vì hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng $ 4 $ tại $ x=2 $ nên đồ thị hàm số là parabol có đỉnh $ I\left ( { 2\,;\,4 } \right ) $. Từ giả thiết ta có hệ phương trình $ \left \{ \begin{array}{l} 4a+2b+c=4 \\ -\frac { b } { 2a }=2 \\ c=8 \end{array} \right. ⇔\left \{ \begin{array}{l} b=-4a \\ 4a+2b=-4 \\ c=8 \end{array} \right. ⇔\left \{ \begin{array}{l} 4a+b=0 \\ 2a+b=-2 \\ c=8 \end{array} \right. ⇔\left \{ \begin{array}{l} a=1 \\ b=-4 \\ c=8 \end{array} \right. $. Vậy $ a=1;{ \rm{ } }b=-4;{ \rm{ } }c=8 $ do đó $ 2a+3b-6c=-58 $.