Cho parabol $ (P) $ có phương trình $ y=ax ^ { 2 } +bx+c\,(a≠0) $. Khi đó: Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Đúng. Vì $ (P) $ đi qua điểm $ A(0;1) $ nên suy ra $ c=1 $. Vì $ (P) $ đi qua điểm $ B(1;-1) $ và $ C(-1;1) $ nên ta có hệ phương trình: $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} a+b+1=-1 \\ a-b+1=1 \end{array} ⇔\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} a+b=-2 \\ a-b=0 \end{array} ⇔\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} a=-1 \\ b=-1 \end{array} \end{array} \right. \end{array} \right. \end{array} \right. $ Vậy parabol $ (P) $ có phương trình $ y=-x ^ { 2 } -x+1 $. b) Sai. Vì $ (P) $ đi qua hai điểm $ D(3;0) $ và $ I(1;4) $ nên ta có: $ 9a+3b+c=0{ \rm{ (1) ; } }\,a+b+c=4{ \rm{ (2) } } $ Trừ theo từng vế của (1) cho (2) ta có: $ 8a+2b=-4 $ (3) Vì $ (P) $ có đỉnh $ I(1;4) $ và từ (3) ta có hệ phương trình: $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} \frac { -b } { 2a }=1 \\ 8a+2b=-4 \end{array} ⇔\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} 2a+b=0 \\ 4a+b=-2 \end{array} ⇔\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} a=-1 \\ b=2. \end{array} \end{array} \right. \end{array} \right. \end{array} \right. $ Thay $ a=-1 $ và $ b=2 $ vào $ (2) $ suy ra $ c=3 $. Vậy parabol $ (P) $ có phương trình $ y=-x ^ { 2 } +2x+3 $. c) Sai. Vì $ (P) $ đi qua hai điểm $ M(2;-7) $ và $ N(-5;0) $ nên ta có: $ 4a+2b+c=-7(1){ \rm{ ; } }25a-5b+c=0{ \rm{ (2) } } $ Trừ theo từng vế của (2) cho (1) ta có: $ 21a-7b=7 $ (3) Vì $ (P) $ có trục đối xứng là $ x=-2 $ và từ $ (3) $ ta có hệ phương trình: $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} \frac { -b } { 2a }=-2 \\ 21a-7b=7 \end{array} ⇔\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} 4a-b=0 \\ 3a-b=1 \end{array} ⇔\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} a=-1 \\ b=-4 \end{array} \end{array} \right. \end{array} \right. \end{array} \right. $ Thay $ a=-1 $ và $ b=-4 $ vào (1) suy ra $ c=5 $. Vậy parabol $ (P) $ có phương trình $ y=-x ^ { 2 } -4x+5 $. d) Đúng. Do $ (P) $ có trục đối xứng là $ x=-2 $ và có đỉnh thuộc đường thẳng $ d:y=2x-1 $ nên đỉnh của $ (P) $ là điểm $ I(-2;-5) $. Vì $ (P) $ đi qua hai điểm $ E(1;4) $ và $ I(-2;-5) $ nên ta có: $ a+b+c=4{ \rm{ (1) ; } }4a-2b+c=-5{ \rm{ (2) } } $ Trừ theo từng vế của (2) cho (1) ta có: $ 3a-3b=-9 $ (3) Vì $ (P) $ có trục đối xứng là $ x=-2 $ và từ $ (3) $ ta có hệ phương trình: $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} \frac { -b } { 2a }=-2 \\ 3a-3b=-9 \end{array} ⇔\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} 4a-b=0 \\ a-b=-3 \end{array} ⇔\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} a=1 \\ b=4. \end{array} \end{array} \right. \end{array} \right. \end{array} \right. $ Thay $ a=1 $ và $ b=4 $ vào (1) suy ra $ c=-1 $. Vậy parabol $ (P) $ có phương trình $ y=x ^ { 2 } +4x-1 $.