Cho tam giác $ABC$ có độ dài các cạnh phụ thuộc vào $x(x>0)$ như sau: $AB=\sqrt{1+\frac{1}{x}}, \quad BC=\sqrt{x+\frac{1}{x}}, \quad CA=\sqrt{1+x}$. Gọi $S(x)$ là diện tích tam giác $ABC$. Hỏi: $\lim_{x \to \infty} \frac{S(x)}{\sqrt{x}} = ?$

Lời giải Áp dụng định lý Cosin: $$ \cos A = \frac{AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}}{2AB \cdot AC} = \frac{(1+\frac{1}{x})+(1+x)-(x+\frac{1}{x})}{2\sqrt{(1+\frac{1}{x})(1+x)}} = \frac{2}{2\sqrt{\frac{(x+1)^{2}}{x}}} = \frac{\sqrt{x}}{x+1} $$ $$ \sin A = \sqrt{1-\cos^{2}A} = \sqrt{1-\frac{x}{(x+1)^{2}}} = \sqrt{\frac{x^{2}+x+1}{(x+1)^{2}}} = \frac{\sqrt{x^{2}+x+1}}{x+1} $$ $$ S(x) = \frac{1}{2}AB \cdot AC \cdot \sin A = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{(x+1)^{2}}{x}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2}+x+1}}{x+1} = \frac{1}{2} \frac{x+1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2}+x+1}}{x+1} = \frac{\sqrt{x^{2}+x+1}}{2\sqrt{x}} $$ $$ \lim_{x \to \infty} \frac{S(x)}{\sqrt{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2}+x+1}}{2x} = \frac{1}{2} = 0,5 $$