Bài tự luận · Bài 31
Dạng 2. Giải bất phương trình bậc hai một ẩn Phương pháp: Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai hoặc đồ thị.
Bài tự luận Dấu của tam thức bậc hai · Bài 31
(CTST10) Tìm giá trị của tham số $m$ để:
a) $x=3$ là một nghiệm của bất phương trình $(m^2-1)x^2+2mx-15\leq 0$;
b) $x=-1$ là một nghiệm của bất phương trình $mx^2-2x+1>0$;
c) $x=\frac{5}{2}$ là một nghiệm của bất phương trình $4x^2+2mx-5m\leq 0$;
d) $x=-2$ là một nghiệm của bất phương trình $(2m-3)x^2-(m^2+1)x\geq 0$;
e) $x=m+1$ là một nghiệm của bất phương trình $2x^2+2mx-m^2-2<0$.
a) $x=3$ là một nghiệm của bất phương trình $(m^2-1)x^2+2mx-15\leq 0$;
b) $x=-1$ là một nghiệm của bất phương trình $mx^2-2x+1>0$;
c) $x=\frac{5}{2}$ là một nghiệm của bất phương trình $4x^2+2mx-5m\leq 0$;
d) $x=-2$ là một nghiệm của bất phương trình $(2m-3)x^2-(m^2+1)x\geq 0$;
e) $x=m+1$ là một nghiệm của bất phương trình $2x^2+2mx-m^2-2<0$.
Xem lời giải
Lời giải
a) $x=3$ là một nghiệm của bất phương trình $(m^2-1)x^2+2mx-15\leq 0$ khi và chỉ khi $9(m^2-1)+6m-15\leq 0$, hay $9m^2+6m-24\leq 0$, tức là $-2\leq m\leq \frac{4}{3}$. Vậy $-2\leq m\leq \frac{4}{3}$.
b) $x=-1$ là một nghiệm của bất phương trình $mx^2-2x+1>0$ khi và chỉ khi $m+3>0$, hay $m>-3$.
Vậy $m>-3$.
c) $x=\frac{5}{2}$ là một nghiệm của bất phương trình $4x^2+2mx-5m\leq 0$ khi và chỉ khi
$4\cdot\left(\frac{5}{2}\right)^2+2m\cdot\frac{5}{2}-5m\leq 0$, hay $25\leq 0$, bất đẳng thức này sai với mọi $m\in\mathbb{R}$.
Vậy không có giá trị $m$ nào thoả mãn yêu cầu.
d) $x=-2$ là một nghiệm của bất phương trình $(2m-3)x^2-(m^2+1)x\geq 0$ khi và chỉ khi $4(2m-3)+2(m^2+1)\geq 0$, hay $2m^2+8m-10\geq 0$, tức là $m\leq -5$ hoặc $m\geq 1$. Vậy $m\leq -5$ hoặc $m\geq 1$.
e) $x=m+1$ là một nghiệm của bất phương trình $2x^2+2mx-m^2-2<0$
khi và chỉ khi $2(m+1)^2+2m(m+1)-m^2-2<0$,
hay $3m^2+6m<0$, tức là $-2<m<0$. Vậy $-2<m<0$.
b) $x=-1$ là một nghiệm của bất phương trình $mx^2-2x+1>0$ khi và chỉ khi $m+3>0$, hay $m>-3$.
Vậy $m>-3$.
c) $x=\frac{5}{2}$ là một nghiệm của bất phương trình $4x^2+2mx-5m\leq 0$ khi và chỉ khi
$4\cdot\left(\frac{5}{2}\right)^2+2m\cdot\frac{5}{2}-5m\leq 0$, hay $25\leq 0$, bất đẳng thức này sai với mọi $m\in\mathbb{R}$.
Vậy không có giá trị $m$ nào thoả mãn yêu cầu.
d) $x=-2$ là một nghiệm của bất phương trình $(2m-3)x^2-(m^2+1)x\geq 0$ khi và chỉ khi $4(2m-3)+2(m^2+1)\geq 0$, hay $2m^2+8m-10\geq 0$, tức là $m\leq -5$ hoặc $m\geq 1$. Vậy $m\leq -5$ hoặc $m\geq 1$.
e) $x=m+1$ là một nghiệm của bất phương trình $2x^2+2mx-m^2-2<0$
khi và chỉ khi $2(m+1)^2+2m(m+1)-m^2-2<0$,
hay $3m^2+6m<0$, tức là $-2<m<0$. Vậy $-2<m<0$.