Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình bình hành. Gọi $ M $, $ N $ lần lượt là trung điểm của $ AB $, $ AD $ và $ G $ là trọng tâm tam giác $ SBD $. Mặt phẳng $ \left ( { MNG } \right ) $ cắt $ SC $ tại điểm $ H $. Tính $ \frac { SH } { SC } $

Phần giải chi tiết Trong mặt phẳng $ \left ( { ABCD } \right ) $, gọi $ E=MN∩AC $. Trong mặt phẳng $ \left ( { SAC } \right ) $, gọi $ H=EG∩SC $. Ta có: $ \left \{ \begin{array}{l} H∈EG;EG⊂\left ( { MNG } \right ) \\ H∈SC \end{array} \right. ⇒H=SC∩\left ( { MNG } \right ) $. Gọi $ I $, $ J $ lần lượt là trung điểm của $ SG $ và $ SH $. Ta có $ \left \{ \begin{array}{l} IJ\,{ \rm{ // } }\,HG \\ IA\,{ \rm{ // } }\,GE \end{array} \right. ⇒A $,$ I $,$ J $ thẳng hàng Xét $ ΔACJ $ có $ EH\ { \rm{ // } }\ AJ ⇒\frac { CH } { HJ }=\frac { CE } { EA }=3 ⇒CH=3HJ $. Lại có $ SH=2HJ $ nên $ SC=5HJ $. Vậy $ \frac { SH } { SC }=\frac { 2 } { 5 } $.