Cho tứ diện $ ABCD $. Gọi $ M,N,P,Q $ lần lượt là trung điểm của $ AC,\,BC,\,BD,\,AD $. Tìm tỉ số $ \frac { AB } { CD } $ trong tứ diện $ ABCD $ để $ MNPQ $ là hình thoi.

Chứng tỏ $ MNPQ $ là hình bình hành: Vì $ MN $ là đường trung bình tam giác $ ABC $ nên $ MN{ \rm{ // } }\,AB,\,MN=\frac { 1 } { 2 }AB $; Vì $ PQ $ là đường trung bình tam giác $ ABD $ nên $ { \rm{ PQ// } }\,AB,\,PQ=\frac { 1 } { 2 }AB $; Vì vậy $ MN{ \rm{ // } }\,PQ,\,MN=PQ $. Suy ra tứ giác $ MNPQ $ là hình bình hành. Tìm điều kiện để $ MNPQ $ là hình thoi: Vì $ MQ $ là đường trung bình của tam giác $ ACD $ nên $ MQ{ \rm{ // } }\,CD $, $ MQ=\frac { 1 } { 2 }CD $. Do $ MNPQ $ là hình bình hành. Nên $ MNPQ $ là hình thoi khi và chỉ khi $ MQ=MN⇔\frac { 1 } { 2 }CD=\frac { 1 } { 2 }AB⇔AB=CD $. Vậy điều kiện để $ MNPQ $là hình thoi là tứ diện $ ABCD $có $ \frac { AB } { CD }=1 $.