Đúng/Sai · Câu 17
Xét mệnh đề chứa biến $ P\left ( { n } \right ):''n ^ { 3 } +3n ^ { 2 } -4n+1 $ chia hết cho $ 6'' $.
Chọn Đúng hoặc Sai cho từng ý.
Xem đáp án và lời giải
Kết quả từng mệnh đề
- a. Đúng
- b. Sai
- c. Sai
- d. Đúng
Lời giải
a) Đ. Với $ n=5 $ thì mệnh đề $ P\left ( { 5 } \right ):''181 $ chia hết cho $ 6'' $. Đây là mệnh đề sai.
b) S. Với $ n=2 $ thì mệnh đề $ P\left ( { 2 } \right ):''13 $ chia hết cho $ 6'' $. Suy ra mệnh đề phủ định là $ ''13 $ không chia hết cho $ 6'' $
c) S. Nếu $ n $ là số chẵn thì $ n ^ { 3 } +3n ^ { 2 } -4n $ là số chẵn. Suy ra $ n ^ { 3 } +3n ^ { 2 } -4n+1 $ là số lẻ nên $ n ^ { 3 } +3n ^ { 2 } -4n+1 $ không chia hết cho 6. Nên $ P\left ( { n } \right ) $ là mệnh đề sai.
d) Đ. $ ∀n∈\mathbb{N} $, ta có: $ n ^ { 3 } +3n ^ { 2 } -4n+1=n\left ( { n ^ { 2 } +3n+2 } \right )-6n+1=n\left ( { n+1 } \right )\left ( { n+2 } \right )-6n+1 $.
Vì $ n\left ( { n+1 } \right )\left ( { n+2 } \right ) $ là tích 3 số tự nhiên liên tiếp nên $ n\left ( { n+1 } \right )\left ( { n+2 } \right ) $ chia hết cho $ 6 $
Lại có $ -6n $ chia hết cho 6; $ 1 $ không chia hết cho 6.
Do đó, $ ∀n∈\mathbb{N} $ thì $ n\left ( { n+1 } \right )\left ( { n+2 } \right )-6n+1 $ không chia hết cho 6.
Vậy mệnh đề $ Q:''∀n∈\mathbb{N},P\left ( { n } \right )'' $ là mệnh đề sai.