Cho các mệnh đề $P$: "$\forall x \in \mathbb{R}: x > x^2$" và $Q$: "$\exists x \in \mathbb{R}: x^2 > 0$". Xét tính đúng – sai của các khẳng định sau:

Đầu tiên, ta xét tính đúng sai của hai mệnh đề gốc: - Mệnh đề $P$: "$\forall x \in \mathbb{R}: x > x^2$" là mệnh đề sai. Vì bất đẳng thức $x > x^2$ chỉ đúng khi $0 < x < 1$, lấy ví dụ phản chứng với $x = 2 \in \mathbb{R}$ thì $2 > 2^2 \Leftrightarrow 2 > 4$ (vô lý). - Mệnh đề $Q$: "$\exists x \in \mathbb{R}: x^2 > 0$" là mệnh đề đúng, vì tồn tại giá trị $x = 1 \in \mathbb{R}$ thỏa mãn $1^2 = 1 > 0$. Do $Q$ đúng nên mệnh đề phủ định $\overline{Q}$ là mệnh đề sai. Xét tính đúng sai của các khẳng định: - Khẳng định a) Đúng. Với $x = \frac{2024}{2025}$ (thỏa mãn điều kiện $0 < x < 1$), ta có $\frac{2024}{2025} > \left(\frac{2024}{2025}\right)^2$ là một khẳng định hoàn toàn chính xác. - Khẳng định b) Sai. Vì $P$ sai và $Q$ đúng (hai mệnh đề không cùng giá trị chân trị) nên mệnh đề tương đương $P \Leftrightarrow Q$ phải là mệnh đề sai. - Khẳng định c) Đúng. Vì mệnh đề $P$ sai và mệnh đề phủ định $\overline{Q}$ cũng sai (hai mệnh đề có cùng giá trị chân trị), do đó mệnh đề tương đương $P \Leftrightarrow \overline{Q}$ là mệnh đề đúng. - Khẳng định d) Đúng. Vì $Q$ đúng và $P$ sai nên theo lý thuyết mệnh đề kéo theo, mệnh đề $Q \Rightarrow P$ là mệnh đề sai. Phát biểu khẳng định "$Q \Rightarrow P$ là mệnh đề sai" là một khẳng định đúng.