(KNTT12) Trong không gian $ Oxyz $, giả sử bề mặt Trái Đất $ (S) $ có phương trình $ x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +z ^ { 2 } =1 $. Từ vị trí $ A\left ( { \frac { 1 } { 2 };\frac { 1 } { 2 };\frac { 1 } { \sqrt[] { 2 } } } \right ) $, người ta dự định đào một đường hầm xuyên qua lòng đất theo hướng $ v=(2;2;-3) $. Tính độ dài đường hầm cần đào.

Question

Dạng 1. Xác định tâm, bán kính của mặt cầu, phương trình mặt cầu (KNTT12) Trong không gian $ Oxyz $, giả sử bề mặt Trái Đất $ (S) $ có phương trình $ x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +z ^ { 2 } =1 $. Từ vị trí $ A\left ( { \frac { 1 } { 2 };\frac { 1 } { 2 };\frac { 1 } { \sqrt[] { 2 } } } \right ) $, người ta dự định đào một đường hầm xuyên qua lòng đất theo hướng $ v=(2;2;-3) $. Tính độ dài đường hầm cần đào.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Đường hầm thuộc đường thẳng $ \Delta $ đi qua $ A\left ( { \frac { 1 } { 2 };\frac { 1 } { 2 };\frac { 1 } { \sqrt[] { 2 } } } ight ) $ nhận $ v=(2;2;-3) $ làm vectơ chỉ phương. Phương trình đường thẳng $ \Delta $ là: $ \left \{ \begin{array}{l} x=\frac { 1 } { 2 }+2t \ y=\frac { 1 } { 2 }+2t \ z=\frac { 1 } { \sqrt[] { 2 } }-3t. \end{array} ight. $ Gọi $ B $ là điểm cuối của đường hầm cần đào. Khi đó $ B $ là giao điểm của đường thẳng $ \Delta $ và mặt cầu $ (S) $. Toạ độ của $ B $ có dạng $ B\left ( { \frac { 1 } { 2 }+2t;\frac { 1 } { 2 }+2t;\frac { 1 } { \sqrt[] { 2 } }-3t } ight ) $ (với $ t
eq 0 $ để $ B $ khác $ A $) và thoả mãn phương trình mặt cầu $ (S) $, tức là: $ \left ( { \frac { 1 } { 2 }+2t } ight ) ^ { 2 } +\left ( { \frac { 1 } { 2 }+2t } ight ) ^ { 2 } +\left ( { \frac { 1 } { \sqrt[] { 2 } }-3t } ight ) ^ { 2 } =1\Leftrightarrow 17t ^ { 2 } +(2-3\sqrt[] { 2 })t=0\Rightarrow t=\frac { 3\sqrt[] { 2 }-2 } { 17 }. $ Suy ra $ AB=\sqrt[] { (2t) ^ { 2 } +(2t) ^ { 2 } +(-3t) ^ { 2 } }=\|t\|\sqrt[] { 17 }=\frac { 3\sqrt[] { 2 }-2 } { \sqrt[] { 17 } } $.

Bài tự luận Phương trình mặt cầu · Bài 25