Bài tập nâng cao Hàm số mũ và hàm số lôgarit · Bài 13
Cho các hàm số $y=\log_{a}x$ và $y=\log_{b}x$ có đồ thị như hình vẽ:
Đường thẳng $x=6$ cắt trục hoành, đồ thị các hàm số $y=\log_{a}x$ và $y=\log_{b}x$ lần lượt tại $A,B$ và $C$. Chứng minh rằng nếu $AC=AB\log_{2}3$ thì $\log_{2}b=\log_{3}a$.
Xem lời giải
Lời giải
Từ các đồ thị hàm số đã cho trên hình ta có:
$A(6;0),B\left( 6;\log_{a}6 \right),C\left( 6;\log_{b}6 \right),AC=y_{C}-y_{A}=\log_{b}6,AB=y_{B}-y_{A}=\log_{a}6.$ Vậy $AC=AB\log_{2}3\Leftrightarrow \log_{b}6=\log_{a}6\cdot \log_{2}3$
$\Leftrightarrow \frac{1}{\log_{6}b}=\frac{1}{\log_{6}a}\cdot \frac{\log_{6}3}{\log_{6}2}\Leftrightarrow \frac{\log_{6}2}{\log_{6}b}=\frac{\log_{6}3}{\log_{6}a}\Leftrightarrow \log_{2}b=\log_{3}a.$
