Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 33
Trong 25 ngày đầu tiên sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh (kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân thứ nhất) đến ngày thứ $t$ là: $f(t)=45t^2-t^3$, $t=0,1,2,\ldots,25$ (Nguồn: Giải tích 12 Nâng cao, NXBGD Việt Nam, 2020).
a) Số người nhiễm bệnh (kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên) lớn nhất là bao nhiêu?
b) Nếu coi $f(t)$ là hàm số xác định trên đoạn $[0;25]$ thì $f'(t)$ được xem là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm $t$. Xác định ngày mà tốc độ truyền bệnh là lớn nhất và tính tốc độ đó.
Xem lời giải
Lời giải
a) Bài toán trở thành: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $f(t)=45t^2-t^3$ trên đoạn $[0;25]$.
Ta có: $f'(t)=90t-3t^2$.
Do đó, $f'(t)=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}t=0\\t=30\end{array}\right.$. Suy ra $f'(t)\geq0$ trên đoạn $[0;25]$.
Bảng biến thiên của hàm số:
Căn cứ bảng biến thiên, ta có: $\max_{[0;25]}f(t)=f(25)=12500$ tại $t=25$.
Vậy sau 25 ngày kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên, số người nhiễm bệnh lớn nhất là 12500 người.
b) Bài toán trở thành: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $g(t)=f'(t)=90t-3t^2$ trên đoạn $[0;25]$. Ta có: $g'(t)=90-6t$.
Do đó, $g'(t)=0\Leftrightarrow t=15$.
Bảng biến thiên của hàm số:
Căn cứ bảng biến thiên, ta có: $\max_{[0;25]}g(t)=g(15)=675$ tại $t=15$.
Vậy tốc độ truyền bệnh lớn nhất là 675 người/ngày và đạt được tại ngày thứ 15.
