Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 33
(Sở Vũng Tàu 2025) Bạn Nam cần thiết kế hai dụng cụ học tập A và B; Mỗi dụng cụ học tập A cần 9 giờ công để chế tạo và 1 giờ công để hoàn thiện. Mỗi dụng cụ học tập B cần 12 giờ công để chế tạo và 3 giờ công để hoàn thiện. Thời gian làm dụng cụ học tập tối đa ở các khâu chế tạo và hoàn thiện lần lượt là 180 giờ và 30 giờ. Bạn Nam kiếm được lợi nhuận 80 nghìn đồng trên mỗi mẫu A và 120 nghìn đồng trên mỗi mẫu B; Bạn Nam cần lên kế hoạch thiết kế số lượng dụng cụ học tập mỗi loại sao cho lợi nhuận thu được là cao nhất trong thời gian cho phép. Hỏi số tiền (nghìn đồng) bạn Nam có được là bao nhiêu?
Xem lời giải
Lời giải
Đáp án: 1680
A: $ 1 $ dụng cụ _ $ 9 $ giờ chế tạo _ $ 1 $ giờ hoàn thiện _ $ 80 $ nghìn đồng.
$ x 9x x 80x $
B: $ 1 $ dụng cụ _$ 12 $ giờ chế tạo _ 3 giờ hoàn thiện _ $ 120 $ nghìn đồng.
$ y 12y 3y 120y $
Gọi $ x,y $ (dụng cụ) lần lượt là số dụng cụ học tập A và B.
Điều kiện $ x\geq 0,y\geq 0 $.
Theo đề ta có hệ bất phương trình $ \left \{ \begin{array}{l} x\geq 0 \\ y\geq 0 \\ 9x+12y\leq 180 \\ x+3y\leq 30 \end{array} \right. $
Miền nghiệm của hệ bpt là miền tứ giác $ OABC $ với $ O\left ( { 0;0 } \right ),A\left ( { 20;0 } \right ),B\left ( { 12;6 } \right ),C\left ( { 0;10 } \right ) $.
Gọi $ F $ (nghìn đồng) là lợi nhuận thu được. Khi đó $ F=80x+120y $.
Tại $ O\left ( { 0;0 } \right ):F=80\cdot 0+120\cdot 0=0 $.
Tại $ A\left ( { 20;0 } \right ):F=80\cdot 20+120\cdot 0=1600 $.
Tại $ B\left ( { 12;6 } \right ):F=80\cdot 12+120\cdot 6=1680 $.
Tại $ C\left ( { 0;10 } \right ):F=80\cdot 0+120\cdot 10=1200 $.
$ F $ đạt giá trị lớn nhất bằng $ 1680 $ tại đỉnh $ B\left ( { 12;6 } \right ) $.
Vậy số tiền bạn Nam có được là $ 1680 $ nghìn đồng.
