Bài tập nâng cao · Bài 13
Bài tập nâng cao Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit · Bài 13
Cho phương trình: $(\sqrt{7+4\sqrt{3}})^{\sin x}+(\sqrt{7-4\sqrt{3}})^{\sin x}=4$. Tính tổng các nghiệm của phương trình trong đoạn $[-2\pi ;2\pi ]$.
Xem lời giải
Lời giải
$(\sqrt{7+4\sqrt{3}})^{\sin x}+(\sqrt{7-4\sqrt{3}})^{\sin x}=4\Leftrightarrow (2+\sqrt{3})^{\sin x}+(2-\sqrt{3})^{\sin x}=4$.
Đặt $t=(2+\sqrt{3})^{\sin x},t>0$. Khi đó phương trình đã cho trở thành:
$t+\frac{1}{t}=4\Leftrightarrow t^{2}-4t+1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t=2+\sqrt{3} \\ t=2-\sqrt{3} \end{array} \right.$. Với $t=2+\sqrt{3}\Rightarrow \sin x=1\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \xrightarrow[{x\in [-2\pi ;2\pi ]}]{k\in \mathbb{Z}} x\in \left\{ -\frac{3\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right\}$.
Với $t=2-\sqrt{3}\Rightarrow \sin x=-1\Rightarrow x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \xrightarrow[{x\in [-2\pi ;2\pi ]}]{k\in \mathbb{Z}} x\in \left\{ -\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2} \right\}$.
Vậy tổng các nghiệm cần tính bằng 0.
Đặt $t=(2+\sqrt{3})^{\sin x},t>0$. Khi đó phương trình đã cho trở thành:
$t+\frac{1}{t}=4\Leftrightarrow t^{2}-4t+1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t=2+\sqrt{3} \\ t=2-\sqrt{3} \end{array} \right.$. Với $t=2+\sqrt{3}\Rightarrow \sin x=1\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \xrightarrow[{x\in [-2\pi ;2\pi ]}]{k\in \mathbb{Z}} x\in \left\{ -\frac{3\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right\}$.
Với $t=2-\sqrt{3}\Rightarrow \sin x=-1\Rightarrow x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \xrightarrow[{x\in [-2\pi ;2\pi ]}]{k\in \mathbb{Z}} x\in \left\{ -\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2} \right\}$.
Vậy tổng các nghiệm cần tính bằng 0.