Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 66

Đáp án: 2975
Ta có:
Cốc nước chanh Túi khoai chiên Giá (nghìn đồng)
Thực đơn $ 1 $: $ 2 $ $ 1 $ $ 35 $ (nghìn đồng)
$ x $ (thực đơn) $ 2x $ $ x $ $ 35x $(nghìn đồng)
Thực đơn $ 2 $: $ 3 $ $ 2 $ $ 55 $(nghìn đồng)
$ y $ (thực đơn) $ 3y $ $ 2y $ $ 55y $(nghìn đồng)
Hệ ràng buộc: $ \left \{ \begin{array}{l} x\geq 0,\ y\geq 0,\ \left ( { x,\ y\in \mathbb{Z} } \right ) \\ 2x+3y\leq 165 \\ x+2y\leq 100 \end{array} \right. $.
Gọi $ F\left ( { x,\ y } \right ) $ (nghìn đồng) là số tiền câu lạc bộ nhận được $ \Rightarrow F\left ( { x;\ y } \right )=35x+55y $
Tìm GTLN của $ F\left ( { x;\ y } \right ) $ thỏa mãn $ \left \{ \begin{array}{l} x\geq 0,\ y\geq 0,\ \left ( { x,\ y\in \mathbb{Z} } \right ) \\ 2x+3y\leq 165 \\ x+2y\leq 100 \end{array} \right. $

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác $ OABC $ (kể cả biên). Tọa độ của các đỉnh tứ giác đó là $ O(0;0) $, $ A(0;50) $, $ B(30;35) $, $ C(82,5;0) $. Thế lần lượt tọa độ các đỉnh của tứ giác vào hàm $ F=35x+55y $, ta được:
Tại $ O(0;0) $:$ F=35.0+55.0=0; $
Tại $ A(0;50) $: $ F=35.0+55.50=2750; $
Tại $ B(30;35) $: $ F=35.30+55.35=2975; $
Tại $ C(82,5;0) $: $ F=35.82,5+55.0=2887,5; $
Ta thấy $ F\left ( { x;\ y } \right )=35x+55y $ đạt giá trị lớn nhất bằng $ 2975 $ nghìn đồng tại điểm $ B(30;35) $.
Vậy số tiền lớn nhất mà câu lạc bộ có thể nhận được sau khi bán hết hàng bằng $ 2975 $ nghìn đồng.