Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 41
Một lò xo được làm từ một sợi dây kim loại. Gọi $d$ là đường kính (trung bình) của sợi dây kim loại và $D$ là đường kính (trung bình) của lò xo (Hình). Khi lò xo để thẳng đứng trên mặt đất thì nó bị nén lại bởi trọng lượng $P$ của lò xo, vật chất trong dây kim loại chịu ứng suất lớn nhất $S$ tại các điểm trên bề mặt sợi dây mà khoảng cách từ những điểm đó đến đường tâm của lò xo là nhỏ nhất.
Biết rằng $S=\frac{8PD}{\pi d^3}\left[\frac{\frac{4D}{d}-1}{4\left(\frac{D}{d}-1\right)}+\frac{0,615d}{D}\right]$.
(Nguồn: John W. Cell, Engineering Problems Illustrating Mathematics,
McGraw-Hill Book Company, Inc. New York and London, 1943).
a) Giả sử sợi dây kim loại là cố định. Hỏi ta phải cuộn sợi dây kim loại đó thành lò xo với đường kính $D$ bằng bao nhiêu để ứng suất $S$ là nhỏ nhất?
b) Giả sử lò xo có đường kính $D$ cố định. Hỏi ta phải chọn loại dây kim loại với đường kính $d$ bằng bao nhiêu để ứng suất $S$ là nhỏ nhất?
Xem lời giải
Lời giải
a) Ta có: $S=\frac{8PD}{\pi d^3}\left[\frac{\frac{4D}{d}-1}{4\left(\frac{D}{d}-1\right)}+\frac{0,615d}{D}\right]$.
Ta xét hàm số $f(x)=S=\frac{8Px}{\pi d^3}\left[\frac{\frac{4x}{d}-1}{4\left(\frac{x}{d}-1\right)}+\frac{0,615d}{x}\right]$.
$f'(x)=\frac{8P}{\pi d^3}\cdot\left(\frac{4\frac{x}{d}-1}{4\left(\frac{x}{d}-1\right)}+\frac{0,615d}{x}\right)+\frac{8Px}{\pi d^3}\cdot\left(\frac{-\frac{12}{d}}{\left[4\left(\frac{x}{d}-1\right)\right]^2}-\frac{0,615d}{x^2}\right)\\=\frac{8P}{\pi d^3}\cdot\left[\frac{4\frac{x}{d}-1}{4\left(\frac{x}{d}-1\right)}-\frac{\frac{12x}{d}}{\left[4\left(\frac{x}{d}-1\right)\right]^2}\right]=\frac{8P}{\pi d^3}\cdot\frac{\frac{16x^2}{d^2}-\frac{32x}{d}+4}{16\left(\frac{x}{d}-1\right)^2}\\ f'(x)=0\Leftrightarrow \frac{x}{d}=\frac{2\pm\sqrt{3}}{2}$.
Từ đó, ta suy ra được $f(x)$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $x=\frac{2+\sqrt{3}}{2}d$.
Vậy để ứng suất $S$ là nhỏ nhất thì đường kính $D=\frac{2+\sqrt{3}}{2}d$.
b) Ta có: $S=\frac{8PD}{\pi d^3}\left[\frac{\frac{4D}{d}-1}{4\left(\frac{D}{d}-1\right)}+\frac{0,615d}{D}\right]=\frac{8PD}{\pi d^3}\cdot\left[\frac{4D-d}{4(D-d)}\right]+\frac{4,92P}{\pi d^2}$
$\Rightarrow S=\frac{8PD}{\pi d^3}+\frac{6PD}{\pi d^2(D-d)}+\frac{4,92P}{\pi d^2}$.
Xét hàm số $g(x)=\frac{8PD}{\pi x^3}+\frac{6PD}{\pi x^2(D-x)}+\frac{4,92P}{\pi x^2}, x>0$.
$g'(x)=\frac{-24PD}{\pi x^4}+\frac{6PD}{\pi}\cdot\frac{3x-2D}{x^3(D-x)^2}-\frac{9,84P}{\pi x^3}\\=\frac{-P\left(9,84x^3-13,68Dx^2-26,16xD^2+24D^3\right)}{\pi x^4(D-x)^2}\\ g'(x)=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\frac{x}{D}\approx 0,8\\ \frac{x}{D}\approx -1,5\\ \frac{x}{D}\approx 2,1\end{array}\right.$.
Ta thấy giá trị nhỏ nhất của $g(x)\approx g(0,8D)$.
Vậy để ứng suất $S$ là nhỏ nhất thì đường kính $d\approx 0,8D$.
