Bài tự luận · Bài 6
Bài tự luận Ôn tập Lượng giác 11 · Bài 6
Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào $ x $:
a) $ A=sin\left ( { \frac { \pi } { 4 }+x } \right )-cos\left ( { \frac { \pi } { 4 }-x } \right ) $;
b) $ B=cos\left ( { \frac { \pi } { 6 }-x } \right )-sin\left ( { \frac { \pi } { 3 }+x } \right ) $;
c) $ C=sin ^ { 2 } x+cos\left ( { \frac { \pi } { 3 }-x } \right )cos\left ( { \frac { \pi } { 3 }+x } \right ) $
d) $ D=\frac { 1-cos2x+sin2x } { 1+cos2x+sin2x }\cdot cotx $
a) $ A=sin\left ( { \frac { \pi } { 4 }+x } \right )-cos\left ( { \frac { \pi } { 4 }-x } \right ) $;
b) $ B=cos\left ( { \frac { \pi } { 6 }-x } \right )-sin\left ( { \frac { \pi } { 3 }+x } \right ) $;
c) $ C=sin ^ { 2 } x+cos\left ( { \frac { \pi } { 3 }-x } \right )cos\left ( { \frac { \pi } { 3 }+x } \right ) $
d) $ D=\frac { 1-cos2x+sin2x } { 1+cos2x+sin2x }\cdot cotx $
Xem lời giải
Lời giải
a) Cách 1. Ta có
$ A=sin\left ( { \frac { \pi } { 4 }+x } \right )-cos\left ( { \frac { \pi } { 4 }-x } \right )=\left ( { sin\frac { \pi } { 4 }cosx+cos\frac { \pi } { 4 }sinx } \right )-\left ( { cos\frac { \pi } { 4 }cosx+sin\frac { \pi } { 4 }sinx } \right ) \\ =\left ( { \frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 }cosx+\frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 }sinx } \right )-\left ( { \frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 }cosx+\frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 }sinx } \right )=0,∀x $
Cách 2. Ta có
$ A=sin\left ( { \frac { \pi } { 4 }+x } \right )-cos\left ( { \frac { \pi } { 4 }-x } \right )=sin\left ( { \frac { \pi } { 4 }+x } \right )-sin\left[ \frac { \pi } { 2 }-\left ( { \frac { \pi } { 4 }-x } \right ) \right] \\ =sin\left ( { \frac { \pi } { 4 }+x } \right )-sin\left ( { \frac { \pi } { 4 }+x } \right )=0,∀x $
b) Ta có
$ B=cos\left ( { \frac { \pi } { 6 }-x } \right )-sin\left ( { \frac { \pi } { 3 }+x } \right )=cos\left ( { \frac { \pi } { 6 }-x } \right )-cos\left[ \frac { \pi } { 2 }-\left ( { \frac { \pi } { 3 }+x } \right ) \right] \\ =cos\left ( { \frac { \pi } { 6 }-x } \right )-cos\left ( { \frac { \pi } { 6 }-x } \right )=0∀x $
c) Ta có $ C=sin ^ { 2 } x+cos\left ( { \frac { \pi } { 3 }-x } \right )cos\left ( { \frac { \pi } { 3 }+x } \right )=sin ^ { 2 } x+\frac { 1 } { 2 }\left ( { cos\frac { 2\pi } { 3 }+cos(-2x) } \right ) $
$ =sin ^ { 2 } x+\frac { 1 } { 2 }\left ( { -\frac { 1 } { 2 }+cos2x } \right )=sin ^ { 2 } x+\frac { 1 } { 2 }\left ( { -\frac { 1 } { 2 }+\left ( { 1-2sin ^ { 2 } x } \right ) } \right )=\frac { 1 } { 4 }∀x $
d) Ta có $ D=\frac { 1-cos2x+sin2x } { 1+cos2x+sin2x }\cdot cotx=\frac { 2sin ^ { 2 } x+2sinxcosx } { 2cos ^ { 2 } x+2sinxcosx }\cdot cotx $
$ =\frac { 2sinx(sinx+cosx) } { 2cosx(sinx+cosx) }\cdot cotx=tanx\cdot cotx=1∀x $
$ A=sin\left ( { \frac { \pi } { 4 }+x } \right )-cos\left ( { \frac { \pi } { 4 }-x } \right )=\left ( { sin\frac { \pi } { 4 }cosx+cos\frac { \pi } { 4 }sinx } \right )-\left ( { cos\frac { \pi } { 4 }cosx+sin\frac { \pi } { 4 }sinx } \right ) \\ =\left ( { \frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 }cosx+\frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 }sinx } \right )-\left ( { \frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 }cosx+\frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 }sinx } \right )=0,∀x $
Cách 2. Ta có
$ A=sin\left ( { \frac { \pi } { 4 }+x } \right )-cos\left ( { \frac { \pi } { 4 }-x } \right )=sin\left ( { \frac { \pi } { 4 }+x } \right )-sin\left[ \frac { \pi } { 2 }-\left ( { \frac { \pi } { 4 }-x } \right ) \right] \\ =sin\left ( { \frac { \pi } { 4 }+x } \right )-sin\left ( { \frac { \pi } { 4 }+x } \right )=0,∀x $
b) Ta có
$ B=cos\left ( { \frac { \pi } { 6 }-x } \right )-sin\left ( { \frac { \pi } { 3 }+x } \right )=cos\left ( { \frac { \pi } { 6 }-x } \right )-cos\left[ \frac { \pi } { 2 }-\left ( { \frac { \pi } { 3 }+x } \right ) \right] \\ =cos\left ( { \frac { \pi } { 6 }-x } \right )-cos\left ( { \frac { \pi } { 6 }-x } \right )=0∀x $
c) Ta có $ C=sin ^ { 2 } x+cos\left ( { \frac { \pi } { 3 }-x } \right )cos\left ( { \frac { \pi } { 3 }+x } \right )=sin ^ { 2 } x+\frac { 1 } { 2 }\left ( { cos\frac { 2\pi } { 3 }+cos(-2x) } \right ) $
$ =sin ^ { 2 } x+\frac { 1 } { 2 }\left ( { -\frac { 1 } { 2 }+cos2x } \right )=sin ^ { 2 } x+\frac { 1 } { 2 }\left ( { -\frac { 1 } { 2 }+\left ( { 1-2sin ^ { 2 } x } \right ) } \right )=\frac { 1 } { 4 }∀x $
d) Ta có $ D=\frac { 1-cos2x+sin2x } { 1+cos2x+sin2x }\cdot cotx=\frac { 2sin ^ { 2 } x+2sinxcosx } { 2cos ^ { 2 } x+2sinxcosx }\cdot cotx $
$ =\frac { 2sinx(sinx+cosx) } { 2cosx(sinx+cosx) }\cdot cotx=tanx\cdot cotx=1∀x $