Bài tự luận · Bài 5
Bài tự luận Ôn tập Lượng giác 11 · Bài 5
Rút gọn các biểu thức sau
a) $ \frac { sin\left ( { 45 ^ { ° } +\alpha } \right )-cos\left ( { 45 ^ { ° } +\alpha } \right ) } { sin\left ( { 45 ^ { ° } +\alpha } \right )+cos\left ( { 45 ^ { ° } +\alpha } \right ) } $;
b) $ \frac { sin2\alpha +sin\alpha } { 1+cos2\alpha +cos\alpha } $
c) $ \frac { 1+cos\alpha -sin\alpha } { 1-cos\alpha -sin\alpha } $
d) $ \frac { sin\alpha +sin3\alpha +sin5\alpha } { cos\alpha +cos3\alpha +cos5\alpha } $.
a) $ \frac { sin\left ( { 45 ^ { ° } +\alpha } \right )-cos\left ( { 45 ^ { ° } +\alpha } \right ) } { sin\left ( { 45 ^ { ° } +\alpha } \right )+cos\left ( { 45 ^ { ° } +\alpha } \right ) } $;
b) $ \frac { sin2\alpha +sin\alpha } { 1+cos2\alpha +cos\alpha } $
c) $ \frac { 1+cos\alpha -sin\alpha } { 1-cos\alpha -sin\alpha } $
d) $ \frac { sin\alpha +sin3\alpha +sin5\alpha } { cos\alpha +cos3\alpha +cos5\alpha } $.
Xem lời giải
Lời giải
a) Ta có
$ \frac { sin\left ( { 45 ^ { ° } +\alpha } \right )-cos\left ( { 45 ^ { ° } +\alpha } \right ) } { sin\left ( { 45 ^ { ° } +\alpha } \right )+cos\left ( { 45 ^ { ° } +\alpha } \right ) } $
$ =\frac { \left ( { sin45 ^ { ° } cos\alpha +cos45 ^ { ° } sin\alpha } \right )-\left ( { cos45 ^ { ° } cos\alpha -sin45 ^ { ° } sin\alpha } \right ) } { \left ( { sin45 ^ { ° } cos\alpha +cos45 ^ { ° } sin\alpha } \right )+\left ( { cos45 ^ { ° } cos\alpha -sin45 ^ { ° } sin\alpha } \right ) } \\ =\frac { \left ( { \frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 }cos\alpha +\frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 }sin\alpha } \right )-\left ( { \frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 }cos\alpha -\frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 }sin\alpha } \right ) } { \left ( { \frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 }cos\alpha +\frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 }sin\alpha } \right )+\left ( { \frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 }cos\alpha -\frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 }sin\alpha } \right ) }=\frac { \sqrt[] { 2 }sin\alpha } { \sqrt[] { 2 }cos\alpha }=tan\alpha . $
b) Ta có
$ \frac { sin2\alpha +sin\alpha } { 1+cos2\alpha +cos\alpha }=\frac { 2sin\alpha cos\alpha +sin\alpha } { 2cos ^ { 2 } \alpha +cos\alpha }=\frac { sin\alpha (2cos\alpha +1) } { cos\alpha (2cos\alpha +1) }=tan\alpha $
c) Ta có
$ \frac { 1+cos\alpha -sin\alpha } { 1-cos\alpha -sin\alpha }=\frac { 2cos ^ { 2 } \frac { \alpha } { 2 }-2sin\frac { \alpha } { 2 }cos\frac { \alpha } { 2 } } { 2sin ^ { 2 } \frac { \alpha } { 2 }-2sin\frac { \alpha } { 2 }cos\frac { \alpha } { 2 } }=\frac { 2cos\frac { \alpha } { 2 }\left ( { cos\frac { \alpha } { 2 }-sin\frac { \alpha } { 2 } } \right ) } { 2sin\frac { \alpha } { 2 }\left ( { sin\frac { \alpha } { 2 }-cos\frac { \alpha } { 2 } } \right ) }=-cot\frac { \alpha } { 2 }. $
d) Ta có
$ \frac { sin\alpha +sin3\alpha +sin5\alpha } { cos\alpha +cos3\alpha +cos5\alpha }=\frac { 2sin3\alpha cos2\alpha +sin3\alpha } { 2cos3\alpha cos2\alpha +cos3\alpha }=\frac { sin3\alpha (2cos2\alpha +1) } { cos3\alpha (2cos2\alpha +1) }=tan3\alpha $
$ \frac { sin\left ( { 45 ^ { ° } +\alpha } \right )-cos\left ( { 45 ^ { ° } +\alpha } \right ) } { sin\left ( { 45 ^ { ° } +\alpha } \right )+cos\left ( { 45 ^ { ° } +\alpha } \right ) } $
$ =\frac { \left ( { sin45 ^ { ° } cos\alpha +cos45 ^ { ° } sin\alpha } \right )-\left ( { cos45 ^ { ° } cos\alpha -sin45 ^ { ° } sin\alpha } \right ) } { \left ( { sin45 ^ { ° } cos\alpha +cos45 ^ { ° } sin\alpha } \right )+\left ( { cos45 ^ { ° } cos\alpha -sin45 ^ { ° } sin\alpha } \right ) } \\ =\frac { \left ( { \frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 }cos\alpha +\frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 }sin\alpha } \right )-\left ( { \frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 }cos\alpha -\frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 }sin\alpha } \right ) } { \left ( { \frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 }cos\alpha +\frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 }sin\alpha } \right )+\left ( { \frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 }cos\alpha -\frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 }sin\alpha } \right ) }=\frac { \sqrt[] { 2 }sin\alpha } { \sqrt[] { 2 }cos\alpha }=tan\alpha . $
b) Ta có
$ \frac { sin2\alpha +sin\alpha } { 1+cos2\alpha +cos\alpha }=\frac { 2sin\alpha cos\alpha +sin\alpha } { 2cos ^ { 2 } \alpha +cos\alpha }=\frac { sin\alpha (2cos\alpha +1) } { cos\alpha (2cos\alpha +1) }=tan\alpha $
c) Ta có
$ \frac { 1+cos\alpha -sin\alpha } { 1-cos\alpha -sin\alpha }=\frac { 2cos ^ { 2 } \frac { \alpha } { 2 }-2sin\frac { \alpha } { 2 }cos\frac { \alpha } { 2 } } { 2sin ^ { 2 } \frac { \alpha } { 2 }-2sin\frac { \alpha } { 2 }cos\frac { \alpha } { 2 } }=\frac { 2cos\frac { \alpha } { 2 }\left ( { cos\frac { \alpha } { 2 }-sin\frac { \alpha } { 2 } } \right ) } { 2sin\frac { \alpha } { 2 }\left ( { sin\frac { \alpha } { 2 }-cos\frac { \alpha } { 2 } } \right ) }=-cot\frac { \alpha } { 2 }. $
d) Ta có
$ \frac { sin\alpha +sin3\alpha +sin5\alpha } { cos\alpha +cos3\alpha +cos5\alpha }=\frac { 2sin3\alpha cos2\alpha +sin3\alpha } { 2cos3\alpha cos2\alpha +cos3\alpha }=\frac { sin3\alpha (2cos2\alpha +1) } { cos3\alpha (2cos2\alpha +1) }=tan3\alpha $