Bài tự luận · Bài 4
Bài tự luận Ôn tập Lượng giác 11 · Bài 4
Cho $ cos\alpha =\frac { 3 } { 4 },sin\alpha >0;sin\beta =\frac { 3 } { 5 },\beta \in \left ( { \frac { 9\pi } { 2 };5\pi } \right ) $.
Hãy tính $ cos2\alpha ,sin2\alpha ,cos2\beta ,sin2\beta ,cos(\alpha +\beta ),sin(\alpha -\beta ) $.
Hãy tính $ cos2\alpha ,sin2\alpha ,cos2\beta ,sin2\beta ,cos(\alpha +\beta ),sin(\alpha -\beta ) $.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $ cos2\alpha =2cos ^ { 2 } \alpha -1=2\cdot \frac { 9 } { 16 }-1=\frac { 1 } { 8 } $.
Ta có $ sin ^ { 2 } \alpha =1-cos ^ { 2 } \alpha =1-\left ( { \frac { 3 } { 4 } } \right ) ^ { 2 } =\frac { 7 } { 16 } $. Lại do $ sin\alpha >0 $ nên $ sin\alpha =\frac { \sqrt[] { 7 } } { 4 } $. Suy ra
$ sin2\alpha =2sin\alpha cos\alpha =2\cdot \frac { \sqrt[] { 7 } } { 4 }\cdot \frac { 3 } { 4 }=\frac { 3\sqrt[] { 7 } } { 8 }{ \rm{ . } }{ \rm{ } } $
Ta có $ cos2\beta =1-2sin ^ { 2 } \beta =1-2\cdot \frac { 9 } { 25 }=\frac { 7 } { 25 } $.
Ta có $ cos ^ { 2 } \beta =1-sin ^ { 2 } \beta =1-\left ( { \frac { 3 } { 5 } } \right ) ^ { 2 } =\frac { 16 } { 25 } $.
Lại do $ \beta \in \left ( { \frac { 9\pi } { 2 };5\pi } \right ) $ nên $ cos\beta < 0 $, do đó $ cos\beta =-\frac { 4 } { 5 } $. Suy ra
$ sin2\beta =2sin\beta cos\beta =2\cdot \frac { 3 } { 5 }\cdot \left ( { -\frac { 4 } { 5 } } \right )=-\frac { 24 } { 25 }. $
Ta có
$ cos(\alpha +\beta )=cos\alpha cos\beta -sin\alpha sin\beta =\frac { 3 } { 4 }\cdot \left ( { -\frac { 4 } { 5 } } \right )-\frac { \sqrt[] { 7 } } { 4 }\cdot \frac { 3 } { 5 }=\frac { -12-3\sqrt[] { 7 } } { 20 }. \\ sin(\alpha -\beta )=sin\alpha cos\beta -cos\alpha sin\beta =\frac { \sqrt[] { 7 } } { 4 }\cdot \left ( { -\frac { 4 } { 5 } } \right )-\frac { 3 } { 4 }\cdot \frac { 3 } { 5 }=\frac { -9-4\sqrt[] { 7 } } { 20 }. $
Ta có $ sin ^ { 2 } \alpha =1-cos ^ { 2 } \alpha =1-\left ( { \frac { 3 } { 4 } } \right ) ^ { 2 } =\frac { 7 } { 16 } $. Lại do $ sin\alpha >0 $ nên $ sin\alpha =\frac { \sqrt[] { 7 } } { 4 } $. Suy ra
$ sin2\alpha =2sin\alpha cos\alpha =2\cdot \frac { \sqrt[] { 7 } } { 4 }\cdot \frac { 3 } { 4 }=\frac { 3\sqrt[] { 7 } } { 8 }{ \rm{ . } }{ \rm{ } } $
Ta có $ cos2\beta =1-2sin ^ { 2 } \beta =1-2\cdot \frac { 9 } { 25 }=\frac { 7 } { 25 } $.
Ta có $ cos ^ { 2 } \beta =1-sin ^ { 2 } \beta =1-\left ( { \frac { 3 } { 5 } } \right ) ^ { 2 } =\frac { 16 } { 25 } $.
Lại do $ \beta \in \left ( { \frac { 9\pi } { 2 };5\pi } \right ) $ nên $ cos\beta < 0 $, do đó $ cos\beta =-\frac { 4 } { 5 } $. Suy ra
$ sin2\beta =2sin\beta cos\beta =2\cdot \frac { 3 } { 5 }\cdot \left ( { -\frac { 4 } { 5 } } \right )=-\frac { 24 } { 25 }. $
Ta có
$ cos(\alpha +\beta )=cos\alpha cos\beta -sin\alpha sin\beta =\frac { 3 } { 4 }\cdot \left ( { -\frac { 4 } { 5 } } \right )-\frac { \sqrt[] { 7 } } { 4 }\cdot \frac { 3 } { 5 }=\frac { -12-3\sqrt[] { 7 } } { 20 }. \\ sin(\alpha -\beta )=sin\alpha cos\beta -cos\alpha sin\beta =\frac { \sqrt[] { 7 } } { 4 }\cdot \left ( { -\frac { 4 } { 5 } } \right )-\frac { 3 } { 4 }\cdot \frac { 3 } { 5 }=\frac { -9-4\sqrt[] { 7 } } { 20 }. $