Bài tập nâng cao · Bài 27
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 27
Cho hàm số $y=f(x)$ có $f(0)=1$ và $f'(x)=\tan^3x+\tan x$, $\forall x\in\mathbb{R}$. Biết $\int_0^{\frac{\pi}{4}}f(x)\,dx=\frac{a+\pi}{b}$ với $a,b\in\mathbb{Q}$; tính $b-a$.
Xem lời giải
Lời giải
Từ giả thiết $f'(x)=\tan^3x+\tan x$, $\forall x\in\mathbb{R}$, ta có
$ f(x)=\int { f'(x)dx }=\int { (tan ^ { 3 } x+tanx)dx } =\int { tanx(1+tan ^ { 2 } x)dx } =\int { tanx.d(tanx) } =\frac { 1 } { 2 }tan ^ { 2 } x+C $,
Ta có $ f(0)=1 $ suy ra $ C=1 $ vậy $ f(x)=\frac { 1 } { 2 }tan ^ { 2 } x+1 $.
Tích phân $ \int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 4 } } { f(x)dx=\frac { 1 } { 2 }\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 4 } } { (tan ^ { 2 } x+2)dx } } =\frac { 1 } { 2 }\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 4 } } { (tan ^ { 2 } x+1+1)dx }=\left | { \frac { 1 } { 2 }(tanx+x) } \right ._{ 0 } ^{ \frac { \pi } { 4 } }=\frac { 1 } { 2 }(1+\frac { \pi } { 4 })=\frac { 4+\pi } { 8 } $.
Từ đây ta được $ \left \{ \begin{array}{l} a=4 \\ b=8 \end{array} \right.\Rightarrow b-a=4 $.
Vậy $ b-a=4 $.
$ f(x)=\int { f'(x)dx }=\int { (tan ^ { 3 } x+tanx)dx } =\int { tanx(1+tan ^ { 2 } x)dx } =\int { tanx.d(tanx) } =\frac { 1 } { 2 }tan ^ { 2 } x+C $,
Ta có $ f(0)=1 $ suy ra $ C=1 $ vậy $ f(x)=\frac { 1 } { 2 }tan ^ { 2 } x+1 $.
Tích phân $ \int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 4 } } { f(x)dx=\frac { 1 } { 2 }\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 4 } } { (tan ^ { 2 } x+2)dx } } =\frac { 1 } { 2 }\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 4 } } { (tan ^ { 2 } x+1+1)dx }=\left | { \frac { 1 } { 2 }(tanx+x) } \right ._{ 0 } ^{ \frac { \pi } { 4 } }=\frac { 1 } { 2 }(1+\frac { \pi } { 4 })=\frac { 4+\pi } { 8 } $.
Từ đây ta được $ \left \{ \begin{array}{l} a=4 \\ b=8 \end{array} \right.\Rightarrow b-a=4 $.
Vậy $ b-a=4 $.