Bài tập nâng cao · Bài 26
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 26
Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ có $ f\left ( { \sqrt[] { 2 } } \right )=-2 $ và $ f'\left ( { x } \right )=\frac { x } { \sqrt[] { 6-x ^ { 2 } } },∀x\in \left ( { -\sqrt[] { 6 };\sqrt[] { 6 } } \right ) $. Khi đó $ \int _{ 0 }^{ \sqrt[] { 3 } } { f\left ( { x } \right ).{ \rm{ d } }x } $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $ ∀x\in \left ( { -\sqrt[] { 6 };\sqrt[] { 6 } } \right )\Rightarrow f\left ( { x } \right )=\int { f'\left ( { x } \right ).{ \rm{ d } }x }=\int { \frac { x } { \sqrt[] { 6-x ^ { 2 } } }.{ \rm{ d } }x } =-\frac { 1 } { 2 }\int { \frac { 1 } { \sqrt[] { 6-x ^ { 2 } } }.{ \rm{ d } }\left ( { 6-x ^ { 2 } } \right ) } =-\frac { 1 } { 2 }.2\sqrt[] { 6-x ^ { 2 } }+C $.
Mà $ f\left ( { \sqrt[] { 2 } } \right )=-2\Leftrightarrow -\sqrt[] { 6-2 }+C=-2\Leftrightarrow C=0 $.
Suy ra $ f\left ( { x } \right )=-\sqrt[] { 6-x ^ { 2 } } $.
Do đó $ I=\int _{ 0 }^{ \sqrt[] { 3 } } { f\left ( { x } \right ).{ \rm{ d } }x }=-\int _{ 0 }^{ \sqrt[] { 3 } } { \sqrt[] { 6-x ^ { 2 } }.{ \rm{ d } }x } $.
Đặt $ x=\sqrt[] { 6 }sint,t\in \left[ -\frac { \pi } { 2 };\frac { \pi } { 2 } \right]\Rightarrow dx=\sqrt[] { 6 }cost.{ \rm{ d } }t $.
Đổi cận $ x=0\Rightarrow t=0;x=\sqrt[] { 3 }\Rightarrow t=\frac { \pi } { 4 } $.
Suy ra $ I=-\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 4 } } { \sqrt[] { 6-6sin ^ { 2 } t }.\sqrt[] { 6 }.cost.{ \rm{ d } }t }=-6\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 4 } } { cos ^ { 2 } t.{ \rm{ d } }t }=-3\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 4 } } { \left ( { cos2t+1 } \right ).{ \rm{ d } }t } =\left | { -3\left ( { \frac { 1 } { 2 }sin2t+t } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ \frac { \pi } { 4 } } =-3\left ( { \frac { 1 } { 2 }sin\frac { \pi } { 2 }+\frac { \pi } { 4 } } \right )=-\frac { 3\pi +6 } { 4 } $.
Mà $ f\left ( { \sqrt[] { 2 } } \right )=-2\Leftrightarrow -\sqrt[] { 6-2 }+C=-2\Leftrightarrow C=0 $.
Suy ra $ f\left ( { x } \right )=-\sqrt[] { 6-x ^ { 2 } } $.
Do đó $ I=\int _{ 0 }^{ \sqrt[] { 3 } } { f\left ( { x } \right ).{ \rm{ d } }x }=-\int _{ 0 }^{ \sqrt[] { 3 } } { \sqrt[] { 6-x ^ { 2 } }.{ \rm{ d } }x } $.
Đặt $ x=\sqrt[] { 6 }sint,t\in \left[ -\frac { \pi } { 2 };\frac { \pi } { 2 } \right]\Rightarrow dx=\sqrt[] { 6 }cost.{ \rm{ d } }t $.
Đổi cận $ x=0\Rightarrow t=0;x=\sqrt[] { 3 }\Rightarrow t=\frac { \pi } { 4 } $.
Suy ra $ I=-\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 4 } } { \sqrt[] { 6-6sin ^ { 2 } t }.\sqrt[] { 6 }.cost.{ \rm{ d } }t }=-6\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 4 } } { cos ^ { 2 } t.{ \rm{ d } }t }=-3\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 4 } } { \left ( { cos2t+1 } \right ).{ \rm{ d } }t } =\left | { -3\left ( { \frac { 1 } { 2 }sin2t+t } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ \frac { \pi } { 4 } } =-3\left ( { \frac { 1 } { 2 }sin\frac { \pi } { 2 }+\frac { \pi } { 4 } } \right )=-\frac { 3\pi +6 } { 4 } $.