Bài tập nâng cao · Bài 28
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 28
Cho hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ có $ f\left ( { 0 } \right )=0 $ và $ f'\left ( { x } \right )=sin ^ { 8 } x-cos ^ { 8 } x-4sin ^ { 6 } x,\ ∀x\in \mathbb{R} $. Tính $ I=\int _{ 0 }^{ \pi } { 16f\left ( { x } \right )\,{ \rm{ d } }x } $.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có: $ sin ^ { 8 } x-cos ^ { 8 } x-4sin ^ { 6 } x =\left ( { sin ^ { 4 } x-cos ^ { 4 } x } \right )\left ( { sin ^ { 4 } x+cos ^ { 4 } x } \right )-4sin ^ { 6 } x =\left ( { sin ^ { 2 } x-cos ^ { 2 } x } \right )\left ( { sin ^ { 4 } x+cos ^ { 4 } x } \right )-4sin ^ { 6 } x =cos ^ { 4 } xsin ^ { 2 } x-sin ^ { 4 } xcos ^ { 2 } x-cos ^ { 6 } x-3sin ^ { 6 } x =cos ^ { 4 } xsin ^ { 2 } x-sin ^ { 4 } xcos ^ { 2 } x-2sin ^ { 6 } x-\left ( { cos ^ { 6 } x+sin ^ { 6 } x } \right ) =sin ^ { 2 } x\left ( { cos ^ { 4 } x-sin ^ { 4 } x } \right )-sin ^ { 4 } x\left ( { cos ^ { 2 } x+sin ^ { 2 } x } \right )-\left ( { 1-3cos ^ { 2 } x.sin ^ { 2 } x } \right ) =4cos ^ { 2 } x.sin ^ { 2 } x-2sin ^ { 4 } x-1 =-\frac { 3 } { 4 }cos4x+cos2x-\frac { 5 } { 4 } $.
Suy ra: $ f\left ( { x } \right )=\int { f'\left ( { x } \right )\, }{ \rm{ d } }x=\int { \left ( { sin ^ { 8 } x-cos ^ { 8 } x-4sin ^ { 6 } x } \right ){ \rm{ d } }x } =\int { \left ( { -\frac { 3 } { 4 }cos4x+cos2x-\frac { 5 } { 4 } } \right )\, }{ \rm{ d } }x =-\frac { 3 } { 16 }sin4x+\frac { 1 } { 2 }sin2x-\frac { 5 } { 4 }x+C $.
Vì $ f\left ( { 0 } \right )=0\Rightarrow C=0 $.
Vậy $ f\left ( { x } \right )=-\frac { 3 } { 16 }sin4x+\frac { 1 } { 2 }sin2x-\frac { 5 } { 4 }x $.
Suy ra: $ I=\int _{ 0 }^{ \pi } { 16f\left ( { x } \right )\,{ \rm{ d } }x } =\int _{ 0 }^{ \pi } { 16\left ( { -\frac { 3 } { 16 }sin4x+\frac { 1 } { 2 }sin2x-\frac { 5 } { 4 }x } \right )\,{ \rm{ d } }x } =\int _{ 0 }^{ \pi } { \left ( { -3sin4x+8sin2x-20x } \right )\,{ \rm{ d } }x } =\left | { \left ( { \frac { 3 } { 4 }cos4x-4cos2x-10x ^ { 2 } } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ \pi }=-10\pi ^ { 2 } $.
Suy ra: $ f\left ( { x } \right )=\int { f'\left ( { x } \right )\, }{ \rm{ d } }x=\int { \left ( { sin ^ { 8 } x-cos ^ { 8 } x-4sin ^ { 6 } x } \right ){ \rm{ d } }x } =\int { \left ( { -\frac { 3 } { 4 }cos4x+cos2x-\frac { 5 } { 4 } } \right )\, }{ \rm{ d } }x =-\frac { 3 } { 16 }sin4x+\frac { 1 } { 2 }sin2x-\frac { 5 } { 4 }x+C $.
Vì $ f\left ( { 0 } \right )=0\Rightarrow C=0 $.
Vậy $ f\left ( { x } \right )=-\frac { 3 } { 16 }sin4x+\frac { 1 } { 2 }sin2x-\frac { 5 } { 4 }x $.
Suy ra: $ I=\int _{ 0 }^{ \pi } { 16f\left ( { x } \right )\,{ \rm{ d } }x } =\int _{ 0 }^{ \pi } { 16\left ( { -\frac { 3 } { 16 }sin4x+\frac { 1 } { 2 }sin2x-\frac { 5 } { 4 }x } \right )\,{ \rm{ d } }x } =\int _{ 0 }^{ \pi } { \left ( { -3sin4x+8sin2x-20x } \right )\,{ \rm{ d } }x } =\left | { \left ( { \frac { 3 } { 4 }cos4x-4cos2x-10x ^ { 2 } } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ \pi }=-10\pi ^ { 2 } $.