Bài tập nâng cao · Bài 29
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 29
Cho $ \int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 4 } } { \frac { x\,dx } { 1-sin ^ { 2 } x } }=\frac { \pi } { a }-lnb+ln\sqrt[] { 2 };\,\,a,b\in \mathbb{N} ^ { * } $. Giá trị $ a+3b $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $ I=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 4 } } { \frac { x\,dx } { 1-sin ^ { 2 } x } }=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 4 } } { \frac { x\,dx } { cos ^ { 2 } x } } $.
Đặt $ \left \{ \begin{array}{l} u=x \\ dv=\frac { 1 } { cos ^ { 2 } x }dx \end{array} \right.\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} du=dx \\ v=tanx \end{array} \right. $. Khi đó $ I=\left | { xtanx } \right ._{ 0 } ^{ \frac { \pi } { 4 } }-\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 4 } } { tanxdx } $.
Xét $ J=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 4 } } { tanxdx }=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 4 } } { \frac { sinx } { cosx }dx } $. Đặt $ t=cosx\Rightarrow dt=-sinxdx $.
Đổi biến$ \left \{ \begin{array}{l} x=0\Rightarrow t=1 \\ x=\frac { \pi } { 4 }\Rightarrow t=\frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 } \end{array} \right. $. Khi đó $ J=-\int _{ 1 }^{ \frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 } } { \frac { 1 } { t }dt }=-\left | { \left ( { ln\left | { t } \right | } \right ) } \right ._{ 1 } ^{ \frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 } }=-ln\frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 } $.
Suy ra $ I=\frac { \pi } { 4 }-J=\frac { \pi } { 4 }+ln\frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 }=\frac { \pi } { 4 }-ln2+ln\sqrt[] { 2 }\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} a=4 \\ b=2 \end{array} \right.\Rightarrow a+3b=10 $.
Đặt $ \left \{ \begin{array}{l} u=x \\ dv=\frac { 1 } { cos ^ { 2 } x }dx \end{array} \right.\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} du=dx \\ v=tanx \end{array} \right. $. Khi đó $ I=\left | { xtanx } \right ._{ 0 } ^{ \frac { \pi } { 4 } }-\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 4 } } { tanxdx } $.
Xét $ J=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 4 } } { tanxdx }=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 4 } } { \frac { sinx } { cosx }dx } $. Đặt $ t=cosx\Rightarrow dt=-sinxdx $.
Đổi biến$ \left \{ \begin{array}{l} x=0\Rightarrow t=1 \\ x=\frac { \pi } { 4 }\Rightarrow t=\frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 } \end{array} \right. $. Khi đó $ J=-\int _{ 1 }^{ \frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 } } { \frac { 1 } { t }dt }=-\left | { \left ( { ln\left | { t } \right | } \right ) } \right ._{ 1 } ^{ \frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 } }=-ln\frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 } $.
Suy ra $ I=\frac { \pi } { 4 }-J=\frac { \pi } { 4 }+ln\frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 }=\frac { \pi } { 4 }-ln2+ln\sqrt[] { 2 }\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} a=4 \\ b=2 \end{array} \right.\Rightarrow a+3b=10 $.