Cho tứ diện đều $ ABCD $ cạnh $ a $, gọi $ M $, $ P $, $ Q $ lần lượt là trung điểm của cạnh $ BC $, $ CD $ và $ AB $. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Question

Beedemy · Accepted Answer

C. $ AC⊥BD $. Lời giải: Ta có $ P,Q $ lần lượt là trung điểm của $ CD $ và $ AB $. Khi đó ta có: $ \left \{ \begin{array}{l} AC//MQ \ BD//MP \end{array} ight.⇒\left ( { \widehat { AC,BD } } ight )=\left ( { \widehat { MQ,MP } } ight ) $ Lại có $ ΔQCD $ cân tại $ Q $, $ P $ là trung điểm $ CD $ nên suy ra $ QP⊥CD $ $ ⇒QP=\sqrt[] { QC ^ { 2 } -CP ^ { 2 } }=\frac { a\sqrt[] { 2 } } { 2 } $ Mặt khác $ \left \{ \begin{array}{l} MQ=\frac { 1 } { 2 }AC=\frac { a } { 2 } \ MP=\frac { 1 } { 2 }BD=\frac { a } { 2 } \end{array} ight. $ Suy ra: $ QP ^ { 2 } =MQ ^ { 2 } +MP ^ { 2 } ⇒ΔMPQ $ vuông tại $ M $ $ ⇒\left ( { \widehat { MQ,MP } } ight )= \widehat { PMQ }=90° $ Vậy $ \left ( { \widehat { AC,BD } } ight )=90° $

Cho tứ diện đều $ ABCD $ cạnh $ a $, gọi $ M $, $ P $, $ Q $ lần lượt là trung điểm của cạnh $ BC $, $ CD $ và $ AB $. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Cùng dạng: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc