Một thí sinh tham gia kì thi TNTHPT. Trong bài thi môn Toán bạn đó làm được chắc chắn đúng $40$ câu. Trong $10$ câu còn lại chỉ có $3$ câu bạn loại trừ được mỗi câu một đáp án chắc chắn sai. Do không còn đủ thời gian nên bạn bắt buộc phải khoanh bừa các câu còn lại. Hỏi xác suất bạn đó được $9$ điểm là bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Lời giải Bài thi có $50$ câu nên mỗi câu đúng được $0,2$ điểm. Để được $9$ điểm, thí sinh đã có $40$ câu đúng ($8$ điểm) nên cần trả lời đúng thêm $5$ câu nữa trong $10$ câu còn lại. Trong $10$ câu còn lại chia làm 2 nhóm: + Nhóm A gồm $3$ câu đã loại trừ được một đáp án sai (còn 3 phương án). Xác suất đúng là $\frac{1}{3}$, xác suất sai là $\frac{2}{3}$. + Nhóm B gồm $7$ câu còn lại (còn 4 phương án). Xác suất đúng là $\frac{1}{4}$, xác suất sai là $\frac{3}{4}$. Gọi $k$ là số câu đúng ở nhóm A ($k \in \{0, 1, 2, 3\}$), khi đó số câu đúng ở nhóm B là $5-k$. Xác suất từng trường hợp: $$ P_1 (k=3) = \Big(\frac{1}{3}\Big)^3 \cdot C_7^2 \cdot \Big(\frac{1}{4}\Big)^2 \cdot \Big(\frac{3}{4}\Big)^5 = \frac{189}{16384} $$ $$ P_2 (k=2) = C_3^2 \cdot \Big(\frac{1}{3}\Big)^2 \cdot \frac{2}{3} \cdot C_7^3 \cdot \Big(\frac{1}{4}\Big)^3 \cdot \Big(\frac{3}{4}\Big)^4 = \frac{315}{8192} = \frac{630}{16384} $$ $$ P_3 (k=1) = C_3^1 \cdot \frac{1}{3} \cdot \Big(\frac{2}{3}\Big)^2 \cdot C_7^4 \cdot \Big(\frac{1}{4}\Big)^4 \cdot \Big(\frac{3}{4}\Big)^3 = \frac{105}{4096} $$ $$ P_4 (k=0) = \Big(\frac{2}{3}\Big)^3 \cdot C_7^5 \cdot \Big(\frac{1}{4}\Big)^5 \cdot \Big(\frac{3}{4}\Big)^2 = \frac{7}{2048} $$ Vậy xác suất cần tìm là: $$ P = P_1 + P_2 + P_3 + P_4 = \frac{1295}{16384} \approx 0,08 $$