Hình sau mô phỏng một trạm thu phát sóng mạng điện thoại di động 4G đặt ở vị trí $ I\left ( { 1;1 } \right ) $ trong mặt phẳng toạ độ (đơn vị trên hai trục là ki-lô-mét). Một người đang đứng ở ví trí $ B\left ( { 5;4 } \right ) $ ngoài vùng phủ sóng và di chuyển tới vị trí $ A\left ( { a;b } \right ) $ để có thể kết nối mạng 4G. Khi quãng đường $ AB $ là ngắn nhất thì tổng $ a+b $ bằng bao nhiêu, biết rằng trạm thu phát sóng được thiết kế với bán kính phủ sóng là $ 3km $?

Phương trình đường tròn mô tả ranh giới của vùng phủ sóng là: $ \left ( { x-1 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { y-1 } \right ) ^ { 2 } =3 ^ { 2 } \left ( { 1 } \right ) $ Khoảng cách từ cột sóng $ I $ đến vị trí người đó đang đứng tại $ B $ là: $ IB=\sqrt[] { \left ( { 5-1 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { 4-1 } \right ) ^ { 2 } }=5\left ( { km } \right ) $ Xét $ A $ là điểm bất kì thuộc vùng phủ sóng, khi đó $ A $ nằm trong hoặc nằm trên đường tròn mô tả ranh giới của vùng phủ sóng nên $ IA≤3km $. Ta có: $ AB≥IB-IA≥5-3=2\left ( { km } \right ) $. Suy ra $ AB $ ngắn nhất bằng $ 2\left ( { km } \right ) $ khi và chỉ khi $ A $ là giao điểm của đoạn thẳng $ IB $ với đường tròn mô tả ranh giới của vùng phủ sóng. Đường thẳng $ BI $ đi qua điểm $ I\left ( { 1;1 } \right ) $ và nhận $ \overset\rightarrow { IB }=\left ( { 4;3 } \right ) $ làm vecto chỉ phương nên có phương trình: $ \left \{ \begin{array}{l} x=1+4t \\ y=1+3t \end{array} \right.,t∈\mathbb{R}. \left ( { 2 } \right ) $ Tọa độ của điểm $ A $ là nghiệm của hệ $ \left ( { 1 } \right ) $ và $ \left ( { 2 } \right ) $ nên ta có: $ \left ( { 1+4t-1 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { 1+3t-1 } \right ) ^ { 2 } =9 $ $ ⇔25t ^ { 2 } =9 \\ ⇔\left[\begin{array}{l} t=\frac { 3 } { 5 } \\ t=\frac { -3 } { 5 } \end{array}\right. $ Với $ t=\frac { 3 } { 5 }⇒A\left ( { \frac { 17 } { 5 };\frac { 14 } { 5 } } \right )⇒AB=2 $ (thỏa mãn) Với $ t=-\frac { 3 } { 5 }⇒A\left ( { \frac { -7 } { 5 };\frac { -4 } { 5 } } \right )⇒AB=8 $ (loại) Do đó $ a=\frac { 17 } { 5 },b=\frac { 14 } { 5 }⇒a+b=6,2 $.