Trong không gian với hệ trục tọa độ $ Oxy $, đài kiểm soát không lưu sân bay có tọa độ $ O\left ( { 0;0 } \right ) $, mỗi đơn vị trên trục ứng với $ 1\,km $. Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát $ 10\,km $sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí $ A\left ( { -12\,;\,-14 } \right ) $, chuyển động theo theo đường thẳng $ d $ có véctơ chỉ phương là $ \overset\rightarrow { u }=\left ( { 1\,;\,1 } \right ) $ và hướng về đài kiểm soát không lưu. Biết tọa độ vị trí sớm nhất mà máy bay xuất hiện trên màn hình ra đa là $ M\left ( { a\,;\,b } \right ) $. Tính $ a+b $.

Lời giải Đáp án: -14 Vì máy bay ở vị trí $ A\left ( { -12\,;\,-14 } \right ) $ đang chuyển động theo theo đường thẳng $ d $ có véctơ chỉ phương là $ \overset\rightarrow { u }=\left ( { 1\,;\,1 } \right ) $ và hướng về đài kiểm soát không lưu nên phương trình chuyển động khi đó là $ d $: $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=-12+t \\ y=-14+t \\ \end{array} \end{array} \right. $, với $ t>0 $. Đường tròn mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng có tâm $ O\left ( { 0;0 } \right ) $ và bán kính $ 10\,km $nên phương trình đường tròn là $ \left ( { C } \right ) $: $ x ^ { 2 } +y ^ { 2 } =100 $. Tọa độ giao điểm $ M $ là giao điểm của đường thẳng $ \left ( { d } \right ) $ và đường tròn $ \left ( { C } \right ) $. Thay $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=-12+t \\ y=-14+t \\ \end{array} \end{array} \right. $ vào đường tròn $ \left ( { C } \right ) $ ta được $ \left ( { -12+t } \right ) ^ { 2 } +\left ( { -14+t } \right ) ^ { 2 } =100⇔2t ^ { 2 } -52t+240=0⇔\left[ \begin{array}{l} t=6 \\ t=20 \\ \end{array} \right. $. Khi đó điểm $ M\left ( { -6\,;\,-8 } \right ) $ hoặc $ M\left ( { 8\,;\,6 } \right ) $. Với $ M\left ( { -6\,;\,-8 } \right ) $ thì $ AM=6\sqrt[] { 2 } $. Với $ M\left ( { 8\,;\,6 } \right ) $ thì $ AM=20\sqrt[] { 2 } $. Vì $ 20\sqrt[] { 2 }>6\sqrt[] { 2 } $ nên tọa độ vị trí sớm nhất mà máy bay xuất hiện trên màn hình ra đa là $ M\left ( { -6\,;\,-8 } \right ) $. Vậy $ a+b=-14 $.