Cho đường tròn $ \left ( { C } \right ) $: $ x ^ { 2 } +y ^ { 2 } =36 $, đường thẳng $ d $: $ 3x+4y+120=0 $. Lấy hai điểm $ M\,\,N $ lần lượt thuộc đường tròn $ \left ( { C } \right ) $ và đường thẳng $ d $. Biết độ dài ngắn nhất và dài nhất của $ MN $ lần lượt là $ b $ và $ a $. Tính $ 3a-5b $

Lời giải Đáp án: 0 Đường tròn $ \left ( { C } \right ) $ có tâm $ I\left ( { 0\,;\,0 } \right ) $, bán kính $ R=6 $. Nhận thấy $ MN≥d\left ( { I;\,d } \right )-R ⇒MN_{ \min } =d\left ( { I;\,d } \right )-R=\frac { \left | { 3.0+4.0+120 } \right | } { \sqrt[] { 3 ^ { 2 } +4 ^ { 2 } } }-6=24-6=18⇒b=18 $. Và $ MN≤d\left ( { I;\,d } \right )+R ⇒MN_{ \max } =d\left ( { I;\,d } \right )+R=\frac { \left | { 3.0+4.0+120 } \right | } { \sqrt[] { 3 ^ { 2 } +4 ^ { 2 } } }+6=24+6=30⇒a=30 $. Vậy $ 3a-5b=3.30-5.18=0 $.