Trong mặt phẳng toạ độ $ Oxy $ (đơn vị trên các trục là mét), một chất điểm chuyển động đều luôn cách điểm $ I(3;3) $ một khoảng bằng $ 2 $. Một chất điểm khác chuyển động thẳng đều trên đường thẳng, tại hai thời điểm, chất điểm đó ở vị trí $ A(-3;2) $ và $ B(2;7) $. Tại mọi thời điểm, khoảng cách nhỏ nhất giữa hai chất điểm là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Quỹ đạo chuyển động của chất điểm thứ nhất là đường tròn $ (C) $ có phương trình : $ (x-3) ^ { 2 } +(y-3) ^ { 2 } =4. $ Ta có $ \overset\rightarrow { AB }=(5;5)⇒\overset\rightarrow { n }=\left ( { 1;\,-1 } \right ) $ là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $ AB $ nên phương trình đường thẳng $ AB $ là: $ x-y+5=0 $. Gọi $ H $ là hình chiếu vuông góc của $ I $ lên đường thẳng $ AB $. Ta có: $ IH=\frac { \|3-3+5\| } { \sqrt[] { 1 ^ { 2 } +(-1) ^ { 2 } } }=\frac { 5 } { \sqrt[] { 2 } } $. Vì $ \frac { 5 } { \sqrt[] { 2 } }>2 $, tức là $ IH>R $ nên đường thẳng $ AB $ và đường tròn $ (C) $ không có điểm chung. Gọi $ K $ là giao điểm của đoạn thẳng $ IH $ và đường tròn. Ta có $ HK=IH-IK=\frac { 5 } { \sqrt[] { 2 } }-2≈1,54\,( m){ \rm{ . } } $ Xét $ M $ là điểm bất kì trên đường tròn, $ N $ là điểm bất kì trên đường thẳng $ AB $. Ta có: $ MN≥IN-IM $. Mà $ IM=IK $, $ IN≥IH $ $ ⇒MN≥IH-IK=HK≈1,54\,( m) $ Vậy tại mọi thời điểm, khoảng cách nhỏ nhất giữa hai chất điểm là $ 1,54 $ m.