Bài tự luận Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ · Bài 44
(CD12) Một vật có trọng lượng 300 N được treo bằng ba sợi dây cáp không dãn có chiều dài bằng nhau, mỗi dây cáp có một đầu được gắn tại một trong các điểm $P(-2;0;0),Q(1;\sqrt{3};0)$, $R(1;-\sqrt{3};0)$ còn đầu kia gắn với vật tại điểm $S(0;0;-2\sqrt{3})$ như Hình
(trong đó mỗi đơn vị trên trục tương ứng với 1 N). Gọi $F_1,F_2,F_3$ lần lượt là lực căng trên các sợi dây cáp $RS,QS$ và $PS$.
Tìm toạ độ của các lực $F_1,F_2,F_3$.
Xem lời giải
Lời giải
Theo giả thiết, ta có các điểm $S(0;0;-2\sqrt{3}),P(-2;0;0),Q(1;\sqrt{3};0)$, $R(1;-\sqrt{3};0)$.
Khi đó: $\overrightarrow{SP}=(-2;0;2\sqrt{3}),\overrightarrow{SQ}=(1;\sqrt{3};2\sqrt{3}),\overrightarrow{SR}=(1;-\sqrt{3};2\sqrt{3})$.
Suy ra $\|\overrightarrow{SP}\|=\|\overrightarrow{SQ}\|=\|\overrightarrow{SR}\|=4$. Lại có $\overrightarrow{PQ}=(3;\sqrt{3};0),\overrightarrow{QR}=(0;-2\sqrt{3};0)$, $\overrightarrow{RP}=(-3;\sqrt{3};0)$, vì $\|\overrightarrow{PQ}\|=\|\overrightarrow{QR}\|=\|\overrightarrow{RP}\|=2\sqrt{3}$ nên tam giác $PQR$ đều. Do đó, $|F_1|=|F_2|=|F_3|$.
Vì vậy, tồn tại hằng số $c\neq0$ sao cho:
$\overrightarrow{F_1}=c\overrightarrow{SR}=(c;-\sqrt{3}c;2\sqrt{3}c),\quad\overrightarrow{F_2}=c\overrightarrow{SQ}=(c;\sqrt{3}c;2\sqrt{3}c),\quad\overrightarrow{F_3}=c\overrightarrow{SP}=(-2c;0;2\sqrt{3}c).$
Suy ra $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=(0;0;6\sqrt{3}c)$.
Mặt khác, ta có: $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=-\overrightarrow{F}$, trong đó $\overrightarrow{F}=(0;0;-300)$ là trọng lực của vật.
Suy ra $6\sqrt{3}c=300$, tức là $c=\dfrac{50\sqrt{3}}{3}$.
Vậy $\overrightarrow{F_1}=\left(\dfrac{50\sqrt{3}}{3};-50;100\right)$, $\overrightarrow{F_2}=\left(\dfrac{50\sqrt{3}}{3};50;100\right),\overrightarrow{F_3}=\left(-\dfrac{100\sqrt{3}}{3};0;100\right)$.
