Bài tập nâng cao · Bài 35
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 35
Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ liên tục trên $ \mathbb{R} $ và thỏa mãn $ f\left ( { x ^ { 3 } +3x+1 } \right )=2x-3,\,∀x\in \mathbb{R} $. Giá trị của $ I=\int _{ -3 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right )dx } $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $ f\left ( { x ^ { 3 } +3x+1 } \right )=2x-3\Leftrightarrow \left ( { 3x ^ { 2 } +3 } \right )f\left ( { x ^ { 3 } +3x+1 } \right )=\left ( { 3x ^ { 2 } +3 } \right )\left ( { 2x-3 } \right ),\,∀x\in \mathbb{R} $
$ \Rightarrow \int _{ -1 }^{ 0 } { \left ( { 3x ^ { 2 } +3 } \right )f\left ( { x ^ { 3 } +3x+1 } \right )dx }\,=\int _{ -1 }^{ 0 } { \left ( { 3x ^ { 2 } +3 } \right )\left ( { 2x-3 } \right )dx } \\ \Rightarrow \int _{ -1 }^{ 0 } { f\left ( { x ^ { 3 } +3x+1 } \right )d\left ( { x ^ { 3 } +3x+1 } \right ) }\,=-\frac { 33 } { 2 } \\ \Leftrightarrow \int _{ -3 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right )dx }=-\frac { 33 } { 2 }. $
$ \Rightarrow \int _{ -1 }^{ 0 } { \left ( { 3x ^ { 2 } +3 } \right )f\left ( { x ^ { 3 } +3x+1 } \right )dx }\,=\int _{ -1 }^{ 0 } { \left ( { 3x ^ { 2 } +3 } \right )\left ( { 2x-3 } \right )dx } \\ \Rightarrow \int _{ -1 }^{ 0 } { f\left ( { x ^ { 3 } +3x+1 } \right )d\left ( { x ^ { 3 } +3x+1 } \right ) }\,=-\frac { 33 } { 2 } \\ \Leftrightarrow \int _{ -3 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right )dx }=-\frac { 33 } { 2 }. $