Bài tự luận · Bài 29
Bài tự luận Ôn tập Hình học không gian – Quan hệ vuông góc 11 · Bài 29
Một vật trang trí có dạng hình chóp $ S.ABCD $ được ngăn làm hai phần chứa kẹo và bánh. Biết rằng hình chóp có đáy $ ABCD $ là hình vuông cạnh $ 1\,m $, $ SA=\sqrt { 3 }\,\left ( { m } \right ) $. Hai mặt phẳng $ (SAB) $ và $ (SAD) $ cùng vuông góc với mặt đáy. Gọi $ (\alpha ) $ là mặt phẳng qua $ AB $ và vuông góc với mặt phẳng $ (SCD) $ là mặt phẳng ngăn cách hai phần này, trên đó ta đặt một miếng ván gỗ sao cho các cạnh của miếng ván nằm trên các cạnh của khối chóp. Tính diện tích của miếng ván gỗ đó (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Xem lời giải
Lời giải
Ta có: $ (SAB)\perp(ABCD) $; $ (SAD)\perp(ABCD) $; $ (SAB)\cap(SAD)=SA $
$ \Rightarrow SA\perp(ABCD) $.
Ta có: $ CD\perp AD,\,CD\perp SA\Rightarrow CD\perp\left ( { SAD } \right ) $.
Mà $ CD\subset\left ( { SCD } \right )\Rightarrow \left ( { SCD } \right )\perp\left ( { SAD } \right ) $
Vẽ $ AM\perp SD(M\in SD)\Rightarrow AM\perp(SCD) $
$ \Rightarrow (ABM)\perp(SCD) $ hay $ (ABM) $ là mặt phẳng $ (\alpha ) $ qua $ AB $ và vuông góc với mặt phẳng $ (SCD) $.
Trong mặt phẳng $ (SCD) $ kẻ $ MN\parallel CD(N\in SC) $.
Suy ra: $ MN\parallel AB\Rightarrow MN\subset(\alpha ) $.
Vậy các giao tuyến của $ (\alpha ) $ với các mặt của hình chóp là $ AB,BN,NM,MA $.
Ta có: $ MN\parallel AB $ và $ AB\perp AM $ (vì $ AB\perp(SAD) $) nên $ ABNM $ là hình thang vuông tại $ A $ và $ M $.
Tam giác $ SAD $ vuông tại $ A $ có $ AM $ là đường cao nên
$ \frac { 1 } { AM ^ { 2 } }=\frac { 1 } { SA ^ { 2 } }+\frac { 1 } { AD ^ { 2 } }=\frac { 1 } { \left ( { \sqrt { 3 } } \right ) ^ { 2 } }+\frac { 1 } { 1 ^ { 2 } }=\frac { 4 } { 3 }\Rightarrow AM=\frac { \sqrt { 3 } } { 2 } $.
$ MN\parallel CD\Rightarrow \frac { MN } { CD }=\frac { SM } { SD }\Rightarrow \frac { MN } { CD }=\frac { \frac { SA ^ { 2 } } { SD } } { SD }=\frac { SA ^ { 2 } } { SD ^ { 2 } }=\frac { SA ^ { 2 } } { SA ^ { 2 } +AD ^ { 2 } }=\frac { 3 } { 4 } $
$ \Rightarrow MN=\frac { 3 } { 4 }CD=\frac { 3 } { 4 } $.
Vậy $ S_{ ABNM } =\frac { 1 } { 2 }\cdot AM\cdot (MN+AB)=\frac { 1 } { 2 }\cdot \frac { \sqrt { 3 } } { 2 }\cdot \left ( { \frac { 3 } { 4 }+1 } \right )=\frac { 7\sqrt { 3 } } { 16 }\simeq 0,76\,\,\left ( { m ^ { 2 } } \right ) $.