Bài tập nâng cao · Bài 29
Dạng 1. Khoảng cách 1 điểm đến mặt
Bài tập nâng cao Khoảng cách · Bài 29
Cho hình chóp tứ giác $ S.ABCD $ có đáy là hình thoi, $ \widehat { BAD }=60° $, cạnh đáy bằng $ a $. Biết hình chiếu $ H $ của đỉnh $ S $ lên mặt phẳng đáy trùng với giao điểm hai đường chéo của hình thoi, $ SH=\frac { a\sqrt[] { 6 } } { 2 } $. Khoảng cách từ đường thẳng $ CD $ đến mặt phẳng $ \left ( { SAB } \right ) $bằng
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $ M $ là trung điểm $ AB $, $ K $ là trung điểm của $ BM $
Tam giác $ ABD $ có $ \widehat { BAD }=60° $ và $ AB=AD $ (do đáy là hình thoi) nên tam giác $ ABD $đều.
Ta có $ DM⊥AB $$ \Rightarrow DM=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 } $, $ HK $$ { \rm{ / } }{ \rm{ / } } $$ DM $ và $ HK=\frac { DM } { 2 }=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 4 } $.
Ta có $ AB⊥\left ( { SHK } \right ) $$ \Rightarrow \left ( { SAB } \right )⊥\left ( { SHK } \right ) $, $ \left ( { SAB } \right )∩\left ( { SHK } \right )=SK $
Vẽ $ HN⊥SK $ tại $ N $$ \Rightarrow HN⊥\left ( { SAB } \right ) $$ \Rightarrow d\left ( { H,\left ( { SAB } \right ) } \right )=HN $.
$ HN=\frac { HK.HS } { \sqrt[] { HK ^ { 2 } +HS ^ { 2 } } } $$ =\frac { a\sqrt[] { 6 } } { 6 } $,
Khoảng cách từ đường thẳng $ CD $ đến mặt phẳng $ \left ( { SAB } \right ) $:
$ d\left ( { CD,\left ( { SAB } \right ) } \right )=d\left ( { C,\left ( { SAB } \right ) } \right )=2d\left ( { H,\left ( { SAB } \right ) } \right ) $$ =2HN=\frac { a\sqrt[] { 6 } } { 3 } $.