Có hai học sinh lớp A, ba học sinh lớp B và bốn học sinh lớp C xếp thành một hàng ngang sao cho giữa hai học sinh lớp A không có học sinh nào lớp B. Có $ n $ cách xếp hàng như vậy. Tính $ n-145000 $

Ta xét các trường hợp sau: Trường hợp 1: Hai học sinh lớp A đứng cạnh nhau có $ 2!.8! $cách. Trường hợp 2: Giữa hai học sinh lớp A có một học sinh lớp C có $ 2!.4.7! $cách. Trường hợp 3: Giữa hai học sinh lớp A có hai học sinh lớp C có $ 2!.A_{ 4 } ^{ 2 }.6! $cách. Trường hợp 4: Giữa hai học sinh lớp A có ba học sinh lớp C có $ 2!.A_{ 4 } ^{ 3 }.5! $cách. Trường hợp 5: Giữa hai học sinh lớp A có bốn học sinh lớp C có $ 2!.A_{ 4 } ^{ 4 }.4! $cách. Vậy theo quy tắc cộng có $ 2!\left ( { 8!+A_{ 4 } ^{ 1 }7!+A_{ 4 } ^{ 2 }6!+A_{ 4 } ^{ 3 }5!+A_{ 4 } ^{ 4 }4! } \right )=145152 $ (cách). Do đó $ n-145000=152. $