Bài tự luận · Bài 21
Dạng 2. Chứng minh hai mặt phẳng song song hoặc vuông góc
Bài tự luận Phương trình mặt phẳng · Bài 21
(CTST12) Tìm các cặp mặt phẳng song song hoặc vuông góc trong các mặt phẳng sau:
$ (P):2x+3y-2z+7=0 $,
$ (Q):3x-2y-11=0 $,
$ (R):4x+6y-4z-9=0 $,
$ (T):7x+y-z+1=0 $.
$ (P):2x+3y-2z+7=0 $,
$ (Q):3x-2y-11=0 $,
$ (R):4x+6y-4z-9=0 $,
$ (T):7x+y-z+1=0 $.
Xem lời giải
Lời giải
Các mặt phẳng $ (P),(Q),(R),(T) $ có các vectơ pháp tuyến lần lượt là $ n_{ 1 } =(2;3;-2),n_{ 2 } =(3;-2;0),n_{ 3 } =(4;6;-4),n_{ 4 } =(7;1;-1) $.
Ta có $ n_{ 1 } \cdot n_{ 2 } =2\cdot 3+3\cdot (-2)+(-2)\cdot 0=0 $, suy ra $ (P)⊥(Q) $.
Vì $ \frac { 4 } { 2 }=\frac { 6 } { 3 }=\frac { -4 } { -2 }\neq \frac { -9 } { 7 } $ nên $ (P)//(R) $.
Ta lại có $ (P)⊥(Q) $ và $ (P)//(R) $, suy ra $ (Q)⊥(R) $.
Ta có $ \frac { 2 } { 7 }\neq \frac { 3 } { 1 } $ suy ra $ n_{ 1 } $ và $ n_{ 4 } $ không cùng phương.
Mặt khác, $ n_{ 1 } \cdot n_{ 4 } =2\cdot 7+3\cdot 1+(-2)\cdot (-1)=19\neq 0 $. Suy ra $ (P) $ và $ (T) $ cắt nhau nhưng không vuông góc. Tương tự, ta cũng có $ (Q) $ và $ (T) $ cắt nhau nhưng không vuông góc.
Ta có $ n_{ 1 } \cdot n_{ 2 } =2\cdot 3+3\cdot (-2)+(-2)\cdot 0=0 $, suy ra $ (P)⊥(Q) $.
Vì $ \frac { 4 } { 2 }=\frac { 6 } { 3 }=\frac { -4 } { -2 }\neq \frac { -9 } { 7 } $ nên $ (P)//(R) $.
Ta lại có $ (P)⊥(Q) $ và $ (P)//(R) $, suy ra $ (Q)⊥(R) $.
Ta có $ \frac { 2 } { 7 }\neq \frac { 3 } { 1 } $ suy ra $ n_{ 1 } $ và $ n_{ 4 } $ không cùng phương.
Mặt khác, $ n_{ 1 } \cdot n_{ 4 } =2\cdot 7+3\cdot 1+(-2)\cdot (-1)=19\neq 0 $. Suy ra $ (P) $ và $ (T) $ cắt nhau nhưng không vuông góc. Tương tự, ta cũng có $ (Q) $ và $ (T) $ cắt nhau nhưng không vuông góc.