Một bồn chứa nước có dạng hình trụ với chiều cao 4 m và bán kính đáy $ 0,5 m $. Lúc đầu bình chứa đầy nước. Kể từ khi bắt đầu xả nước, tốc độ thay đổi chiều cao của mực nước trong bồn theo thời gian $ t $ là $ h ^ { ′ } (t)=\frac { t } { 50 }-\frac { 2 } { 5 } $(m/phút)
a) Tìm chiều cao $ h(t) $ của mực nước trong bồn sau $ t $ phút kể từ khi bắt đầu xả nước.
b) Cần thời gian bao lâu để xả hết nước trong bồn?
c) Sau khi xả 5 phút, trong bồn còn bao nhiêu lít nước?
Xem lời giải
Lời giải
a) $ h(t)=\int { h ^ { ′ } }(t)dt=\int { \left ( { \frac { t } { 50 }-\frac { 2 } { 5 } } \right ) }dt=\frac { t ^ { 2 } } { 100 }-\frac { 2t } { 5 }+C $.
Ta có $ h(0)=4 $, suy ra $ C=4 $.
Vậy $ h(t)=\frac { t ^ { 2 } } { 100 }-\frac { 2t } { 5 }+4( m) $.
b) Ta có $ h(t)=0\Leftrightarrow \frac { t ^ { 2 } } { 100 }-\frac { 2t } { 5 }+4=0\Leftrightarrow t ^ { 2 } -40t+400=0 $
$ \Leftrightarrow (t-20) ^ { 2 } =0\Leftrightarrow t=20{ \rm{ . } }{ \rm{ } } $
Suy ra cần 20 phút để xả hết nước trong bồn.
c) Sau khi xả 5 phút, chiều cao của mực nước trong bồn là
$ h(5)=\frac { 5 ^ { 2 } } { 100 }-\frac { 2\cdot 5 } { 5 }+4=2,25( m). $
Thể tích nước trong bồn lúc đó là
$ V=\pi .(0,5) ^ { 2 } \cdot 2,25=\frac { 9\pi } { 16 }\approx 1,767\left ( { m ^ { 3 } } \right ). $
Ta có $ 1,767 m ^ { 3 } =1767l $. Vậy sau khi xả 5 phút, trong bồn còn khoảng $ 1767l $ nước.
