Bài tự luận · Bài 36
Bài tự luận Ôn tập Giới hạn 11 · Bài 36
Cho hàm số $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}a^2x^2&\text{khi }x\leq\sqrt3\\(2-a)x^2&\text{khi }x>\sqrt3\end{array}\right.$. Tìm giá trị của $a$ để $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$.
Xem lời giải
Lời giải
TXĐ: $D=\mathbb{R}$.
Với $x<\sqrt3$ ta có hàm số $f(x)=a^2x^2$ là hàm đa thức nên liên tục trên khoảng $(-\infty;\sqrt3)$.
Với $x>\sqrt3$ ta có hàm số $f(x)=(2-a)x^2$ là hàm đa thức nên liên tục trên khoảng $(\sqrt3;+\infty)$.
Để hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ thì hàm số liên tục tại $x=\sqrt3$.
Với $x=\sqrt3$ ta có $f(\sqrt3)=3a^2$.
$\lim_{x\to\sqrt3^-}f(x)=\lim_{x\to\sqrt3^-}a^2x^2=3a^2$; $\lim_{x\to\sqrt3^+}f(x)=\lim_{x\to\sqrt3^+}(2-a)x^2=-3a+6$.
Ta có: $\lim_{x\to\sqrt3^-}f(x)=\lim_{x\to\sqrt3^+}f(x)=f(\sqrt3)$
$\Leftrightarrow3a^2=-3a+6\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}a=1\\a=-2\end{array}\right.$.
Vậy $a=1$ hoặc $a=-2$ thì hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$.
Với $x<\sqrt3$ ta có hàm số $f(x)=a^2x^2$ là hàm đa thức nên liên tục trên khoảng $(-\infty;\sqrt3)$.
Với $x>\sqrt3$ ta có hàm số $f(x)=(2-a)x^2$ là hàm đa thức nên liên tục trên khoảng $(\sqrt3;+\infty)$.
Để hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ thì hàm số liên tục tại $x=\sqrt3$.
Với $x=\sqrt3$ ta có $f(\sqrt3)=3a^2$.
$\lim_{x\to\sqrt3^-}f(x)=\lim_{x\to\sqrt3^-}a^2x^2=3a^2$; $\lim_{x\to\sqrt3^+}f(x)=\lim_{x\to\sqrt3^+}(2-a)x^2=-3a+6$.
Ta có: $\lim_{x\to\sqrt3^-}f(x)=\lim_{x\to\sqrt3^+}f(x)=f(\sqrt3)$
$\Leftrightarrow3a^2=-3a+6\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}a=1\\a=-2\end{array}\right.$.
Vậy $a=1$ hoặc $a=-2$ thì hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$.