(CD11) Cho dãy số $\left(u_n\right)$ biết $u_1=1,u_n=\frac{1}{3}u_{n-1}+1$ với $n\in\mathbb{N}^*,n\geq 2$. Đặt $v_n=u_n-\frac{3}{2}$ với $n\in\mathbb{N}^*$ với $n\in\mathbb{N}^*$.
a) Chứng minh rằng dãy số $\left(v_n\right)$ là cấp số nhân. Tìm số hạng đầu, công bội của cấp số nhân đó.
b) Tìm công thức số hạng tổng quát của $\left(v_n\right),\left(u_n\right)$.
c) Tính tổng $S=u_1+u_2+u_3+\ldots+u_{10}$.

Question

Dạng 3. Tính tổng $n$ số hạng đầu của cấp số nhân (CD11) Cho dãy số $\left(u_n\right)$ biết $u_1=1,u_n=\frac{1}{3}u_{n-1}+1$ với $n\in\mathbb{N}^*,n\geq 2$. Đặt $v_n=u_n-\frac{3}{2}$ với $n\in\mathbb{N}^*$ với $n\in\mathbb{N}^*$. a) Chứng minh rằng dãy số $\left(v_n\right)$ là cấp số nhân. Tìm số hạng đầu, công bội của cấp số nhân đó. b) Tìm công thức số hạng tổng quát của $\left(v_n\right),\left(u_n\right)$. c) Tính tổng $S=u_1+u_2+u_3+\ldots+u_{10}$.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: a) Ta có: $v_n=u_n-\frac{3}{2}=\frac{1}{3}u_{n-1}+1-\frac{3}{2}=\frac{1}{3}u_{n-1}-\frac{1}{2}=\frac{1}{3}\left(u_{n-1}-\frac{3}{2}\right)=\frac{1}{3}v_{n-1}$ với mọi $n\in\mathbb{N}^*,n\geq 2$. Vậy $\left(v_n\right)$ là cấp số nhân có số hạng đầu $v_1=-\frac{1}{2}$, công bội $q=\frac{1}{3}$. b) $v_n=\frac{-1}{2\cdot 3^{n-1}},u_n=v_n+\frac{3}{2}=\frac{3}{2}-\frac{1}{2\cdot 3^{n-1}}=\frac{3^n-1}{2\cdot 3^{n-1}}$. c) $S=u_1+u_2+u_3+\ldots+u_{10}=\left(v_1+\frac{3}{2}\right)+\left(v_2+\frac{3}{2}\right)+\left(v_3+\frac{3}{2}\right)+\ldots+\left(v_{10}+\frac{3}{2}\right)$ $=v_1+v_2+v_3+\ldots+v_{10}+10\cdot\frac{3}{2}=\frac{280483}{19683}.$

Bài tự luận Cấp số nhân · Bài 27