Bài tập nâng cao · Bài 3
TÓM TẮT KIẾN THỨC Xét một phép thử $ T $ có không gian mẫu $ Ω $ và hai biến cố $ A,B $. Ta có công thức xác suất toàn phần như sau $ P(B)=P(A∩B)+P( \bar A∩B)=P(A)\cdot P(B\mid A)+P( \bar A)\cdot P(B\mid \bar A) $ Nếu có thêm giả thiết $ P(B)>0 $ thì ta có công thức Bayes sau đây: $ P(A\mid B)=\frac { P(A)\cdot P(B\mid A) } { P(A)\cdot P(B\mid A)+P( \bar A)\cdot P(B\mid \bar A) }=\frac { P(A)\cdot P(B\mid A) } { P(B) } $ Các biến cố $ A_{ 1 } ,A_{ 2 } ,…,A_{ n } (n\in \mathbb{N},n\geq 2) $ được gọi là một nhóm đầy đủ nếu chúng đôi một xung khắc (tức là $ A_{ i } ∩A_{ j } =∅,∀i\neq j $) và đồng thời $ A_{ 1 } ∪A_{ 2 } ∪…∪A_{ n } =Ω $. Hai biến cố $ A $ và $ \bar A $ luôn tạo thành một nhóm đầy đủ. Hiển nhiên $ ∅ $ và $ Ω $ cũng tạo thành một nhóm đầy đủ, được gọi là nhóm đầy đủ tầm thường. Với một nhóm đầy đủ $ A_{ 1 } ,A_{ 2 } ,A_{ 3 } ,…,A_{ n } $ và biến cố $ B $ ta luôn có $B=\bigcup_{k=1}^{n}(B\cap A_k)$ nên $ P(B)=\sum \limits_{ k=1 } ^ n { P }\left ( { B∩A_{ k } } \right ) $ (do các biến cố $ B∩A_{ 1 } ,…,B∩A_{ n } $ đôi một xung khắc). Áp dụng công thức nhân ta được $ P(B)=\sum \limits_{ k=1 } ^ n { P }\left ( { A_{ k } } \right )P\left ( { B\mid A_{ k } } \right ) $. Đây chính là công thức xác suất toàn phần (hay công thức xác suất đầy đủ) cho trường hợp tổng quát. Công thức xác suất toàn phần ta nêu ở đầu mục này chính là trường hợp $ n=2 $. Đến đây ta cũng thiết lập được công thức Bayes cho trường hợp tổng quát như sau (với giả thiết $ P(B)>0 $): $ P\left ( { A_{ i } \mid B } \right )=\frac { P\left ( { A_{ i } } \right )\cdot P\left ( { B\mid A_{ i } } \right ) } { P(B) }=\frac { P\left ( { A_{ i } } \right )\cdot P\left ( { B\mid A_{ i } } \right ) } { \sum \limits_{ k=1 } ^ n { P }\left ( { A_{ k } } \right )P\left ( { B\mid A_{ k } } \right ) };i=1,2,…,n $ Công thức Bayes giúp ta tính các xác suất $ P\left ( { A_{ i } \mid B } \right ) $ trong khi đã biết $ P\left ( { A_{ i } } \right ) $. Xác suất $ P\left ( { A_{ i } } \right ) $ được xác định từ trước nên thường được gọi là xác suất tiên nghiệm, còn xác suất $ P\left ( { A_{ i } \mid B } \right ) $ được xác định sau khi đã có kết quả thí nghiệm nào đó thể hiện qua sự xuất hiện của $ B $ nên được gọi là xác suất hậu nghiệm. Ý nghĩa của công thức Bayes: Một nhà nghiên cứu quan tâm đến xác suất xảy ra của biến cố $ A_{ i } $ và tính được xác suất $ P\left ( { A_{ i } } \right ) $. Sau đó, nhà nghiên cứu biết được thông tin rằng biến cố $ B $ đã xảy ra. Với thông tin mới này, nhà nghiên cứu sẽ cập nhật lại hiểu biết của mình về khả năng xảy ra của biến cố $ A_{ i } $ bằng cách tính xác suất $ P\left ( { A_{ i } \mid B } \right ) $ là xác suất xảy ra biến cố $ A_{ i } $ khi biến cố $ B $ đã xảy ra.
Bài tập nâng cao Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes · Bài 3
a) Tính xác suất để sản phẩm đó bị lỗi.
b) Biết rằng sản phẩm đó bị lỗi. Hỏi xác suất để sản phẩm lỗi đó do phân xưởng nào sản xuất cao hơn?
Xem lời giải
Lời giải
$ A $: "Sản phẩm được kiểm tra bị lỗi";
$ B $: "Sản phẩm được kiểm tra do phân xưởng X sản xuất".
Ta có $ P(B)=47\%;P( \bar B)=53\%;P(A\mid B)=0,8\%;P(A\mid \bar B)=0,5\% $.
Xác suất để sản phẩm được kiểm tra bị lỗi là
$ P(A)=P(B)\cdot P(A\mid B)+P( \bar B)\cdot P(A\mid \bar B)=0,641\% $
b) Nếu sản phẩm kiểm tra bị lỗi thì xác suất để sản phẩm lỗi đó do phân xưởng X sản xuất là $ P(B\mid A)=\frac { P(B)\cdot P(A\mid B) } { P(A) }=\frac { 0,47\cdot 0,008 } { 0,00641 }=\frac { 376 } { 641 }\approx 58,66\% $.
Nếu sản phẩm kiểm tra bị lỗi thì xác suất để sản phẩm lỗi đó do phân xưởng Y sản xuất là $ P( \bar B\mid A)=1-P(B\mid A)=1-\frac { 376 } { 641 }=\frac { 265 } { 641 }\approx 41,34\% $.
Vậy nếu sản phẩm được kiểm tra bị lỗi thì xác suất sản phẩm lỗi đó do phân xưởng X sản xuất cao hơn xác suất sản phẩm lỗi đó do phân xưởng $ Y $ sản xuất.