(THPT Trần Phú - Vĩnh Phúc 2025) Tính hết năm $2022$ diện tích rừng của thành phố $X$ là $140600 \ \text{ha}$, tỷ lệ che phủ rừng trên địa bàn tỉnh đạt $39,8\%$. Trong năm $2022$ thành phố $X$ trồng mới được $1000 \ \text{ha}$. Giả sử diện tích rừng trồng mới của thành phố mỗi năm tiếp theo đều tăng $6\%$ so với diện tích rừng trồng mới của năm liền trước. Sau ít nhất bao nhiêu năm tỉnh có diện tích rừng đạt tỷ lệ che phủ $45\%$.

Lời giải Diện tích toàn bộ của thành phố $X$ là $S = \frac{140600}{39,8\%} \approx 353266 \ \text{ha}$. Diện tích rừng trồng mới theo các năm là cấp số nhân với $u_{1} = 1000 \cdot 1,06$ và công bội $q = 1,06$. Diện tích rừng trồng mới sau $n$ năm là $u_{n} = 1000(1,06)^{n}$. Khi diện tích rừng đạt tỷ lệ $45\%$, diện tích rừng là $S_{45\%} = S \cdot 45\% = \frac{140600}{0,398} \cdot 0,45 = 159000 \ \text{ha}$. Diện tích rừng cần tăng thêm là: $\Delta S = 159000 - 140600 = 18400 \ \text{ha}$. Tổng diện tích rừng trồng mới sau $n$ năm phải bằng $\Delta S$: $$ \sum_{k=1}^{n} 1000(1,06)^{k} = 18400 $$ $$ 1000 \cdot 1,06 \cdot \frac{(1,06)^{n} - 1}{1,06 - 1} = 18400 $$ $$ 1060 \cdot \frac{(1,06)^{n} - 1}{0,06} = 18400 \Leftrightarrow (1,06)^{n} - 1 \approx 1,0415 $$ $$ (1,06)^{n} \approx 2,0415 \Rightarrow n \approx \log_{1,06} 2,0415 \approx 12,2 $$ Vì $n$ nguyên và cần ít nhất để đạt tỷ lệ che phủ $45\%$ nên $n = 13$. Vậy sau ít nhất 13 năm thì tỉnh có diện tích rừng đạt tỷ lệ che phủ 45%.