(Chuyên Hạ Long 2025) Trong một phòng thí nghiệm, số lượng của một vi khuẩn X được biểu diễn theo công thức $S(t) = A \cdot e^{rt}$, trong đó $A$ là số lượng vi khuẩn tại thời điểm chọn mốc thời gian, $r$ là tỉ lệ tăng trưởng ($r > 0$), $t$ là thời gian tăng trưởng (tính theo đơn vị là giờ). Lúc $0$ giờ sáng, số lượng vi khuẩn X là $150$ con. Sau $3$ giờ số lượng vi khuẩn X là $450$ con. Cùng thời điểm $0$ giờ, người ta đo được số lượng vi khuẩn Y là $300$ con. Biết rằng số lượng vi khuẩn Y tăng $5\%$ mỗi giờ. Hỏi vào lúc mấy giờ, số lượng vi khuẩn X bằng số lượng vi khuẩn Y. (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Lời giải Theo bài ra: $S_{X}(0) = A = 150$. $S_{X}(3) = 150 \cdot e^{3r} = 450 \Rightarrow e^{3r} = 3 \Rightarrow r = \frac{\ln 3}{3}$. Số lượng vi khuẩn X là: $S_{X}(t) = 150 \cdot e^{\frac{\ln 3}{3}t}$. Số lượng vi khuẩn Y là: $S_{Y}(t) = 300 \cdot \left( 1,05 \right)^{t}$ (vì tăng $5\%$ mỗi giờ). Số lượng vi khuẩn X bằng số lượng vi khuẩn Y khi: $$ 150 \cdot e^{\frac{\ln 3}{3}t} = 300 \cdot \left( 1,05 \right)^{t} \Leftrightarrow e^{\frac{\ln 3}{3}t} = 2 \cdot e^{t \ln 1,05} $$ $$ \Leftrightarrow \left( \frac{\ln 3}{3} - \ln 1,05 \right)t = \ln 2 \Rightarrow t = \frac{\ln 2}{\frac{\ln 3}{3} - \ln 1,05} \approx 2,18 \text{ (giờ)}. $$