Cho hình chóp $ S.ABCD $ có $ SA⊥(ABCD),SA=a\sqrt[] { 3 },ABCD $ là hình vuông tâm là $ O $ cạnh bằng $ a $. Gọi$ M $là trung điểm của $ SA $. Trong $ mp\left ( { SAB } \right ) $ kẻ $ AH $ vuông góc với $ SB $. Khi đó:

a) Đúng. Kẻ $ AH⊥SB $ tại $ H $ Ta có: $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} BC⊥SA \\ BC⊥AB \\ \end{array} ⇒BC⊥(SAB)⇒BC⊥AH \end{array} \right. $ Ta lại có: $ AH⊥SB⇒AH⊥(SBC) $ b) Sai. Theo câu a, $ d(A,(SBC))=AH $. Ta có: $ AH=\frac { 1 } { \sqrt[] { \frac { 1 } { SA ^ { 2 } }+\frac { 1 } { AB ^ { 2 } } } }=\frac { 1 } { \sqrt[] { \frac { 1 } { (\sqrt[] { 3 }a) ^ { 2 } }+\frac { 1 } { a ^ { 2 } } } }=\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 }a $ Vậy $ d(A,(SBC))=\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 }a $. c) Đúng. Gọi $ N $ là trung điểm của $ AB $ $ ⇒OM⊥(SAB)⇒( \widehat { OM,(SAB) })= \widehat { OMN }=\alpha ⇒\tan\alpha =\frac { ON } { MN }=\frac { 1 } { 2 }{ \rm{ . } } $ d) Sai. Tam giác AHM đều, cạnh $ \frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 }a $. nên diện tích $ S_{ AHM } =\frac { \sqrt[] { 3 } } { 4 }\left ( { \frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 }a } \right ) ^ { 2 } =\frac { 3\sqrt[] { 3 } } { 16 }a ^ { 2 } $. Vì $ A,H,M\in \left ( { SAB } \right ) $ và $ \left ( { SAB } \right ) $ chính là mặt phẳng $ Oxz $ (chứa $ AB $ và $ SA $) nên khoảng cách từ $ O $ đến $ \left ( { SAB } \right ) $ bằng khoảng cách từ $ O $ đến $ AB $, tức là bằng $ \frac { 1 } { 2 } $ cạnh hình vuông $ =\frac { a } { 2 } $. Do đó $ V_{ A.MOH } =\frac { 1 } { 3 }.S_{ AHM } .d\left ( { O,\left ( { SAB } \right ) } \right )=\frac { 1 } { 3 }.\frac { 3\sqrt[] { 3 } } { 16 }a ^ { 2 } .\frac { a } { 2 }=\frac { \sqrt[] { 3 } } { 32 }a ^ { 3 } $. Mặt khác $ V_{ S.ABCD } =\frac { 1 } { 3 }.SA.S_{ ABCD } =\frac { 1 } { 3 }.a\sqrt[] { 3 }.a ^ { 2 } =\frac { \sqrt[] { 3 } } { 3 }a ^ { 3 } $. Vậy $ \frac { V_{ A.MOH } } { V_{ S.ABCD } }=\frac { 3 } { 32 }\ne \frac { 1 } { 8 } $. Mệnh đề d sai.