Cho khối chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh bằng $6$ cm, cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và số đo góc nhị diện $[B,SC,D]$ bằng $120^{\circ}$. Thể tích của khối chóp $S.ABCD$ bằng bao nhiêu centimet khối?

Lời giải Kẻ $BI \perp SC$. Ta có: $$ \left\{ \begin{array}{l} BD \perp AC \\ BD \perp SA \end{array} \right. \Rightarrow BD \perp (SAC) \Rightarrow BD \perp SC $$ Do đó $SC \perp (BDI) \Rightarrow DI \perp SC$. Suy ra góc nhị diện $[B,SC,D]$ là góc $\widehat{BID} = 120^{\circ}$. Tam giác $DIB$ cân tại $I$. Theo định lý hàm số cos trong tam giác $DIB$: $$ BD^{2} = BI^{2} + DI^{2} - 2BI \cdot DI \cdot \cos 120^{\circ} $$ $$ (6\sqrt{2})^{2} = 2BI^{2} - 2BI^{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 3BI^{2} $$ $$ 72 = 3BI^{2} \Rightarrow BI^{2} = 24 \Rightarrow BI = 2\sqrt{6} $$ Xét $\triangle SBC$ vuông tại $B$ có đường cao $BI$: $$ \frac{1}{BI^{2}} = \frac{1}{SB^{2}} + \frac{1}{BC^{2}} \Rightarrow \frac{1}{24} = \frac{1}{SB^{2}} + \frac{1}{36} $$ $$ \frac{1}{SB^{2}} = \frac{1}{24} - \frac{1}{36} = \frac{1}{72} \Rightarrow SB = 6\sqrt{2} $$ Xét $\triangle SAB$ vuông tại $A$: $$ SA = \sqrt{SB^{2} - AB^{2}} = \sqrt{72 - 36} = 6 $$ Diện tích hình vuông $ABCD$ là $$ S_{ABCD} = 6^{2} = 36 \text{ (cm}^{2}\text{)} $$ Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là $$ V_{S.ABCD} = \frac{1}{3} \cdot SA \cdot S_{ABCD} = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot 36 = 72 \text{ (cm}^{3}\text{)}. $$