Cho hình chóp tứ giác đều $ S.ABCD $có cạnh đáy bằng 2, cạnh bên bằng $ 2\sqrt[] { 2 } $. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $ AB $ và $ SD $.

Vì $ S.ABCD $ là hình chóp tứ giác đều, nên $ ABCD $ là hình vuông Gọi $ O $ là giao điểm của $ AC $ và $ BD⇒SO⊥\left ( { ABCD } \right ) $ Kẻ $ OK⊥CD $, nên $ K $ là trung điểm của $ CD $ lại có $ SO⊥CD⇒CD⊥\left ( { SOK } \right ) $ Kẻ $ OH⊥SK⇒CD⊥OH⇒OH⊥\left ( { SCD } \right )⇒d\left ( { O;\left ( { SCD } \right ) } \right )=OH $ Ta có $ AB//\left ( { SCD } \right )⇒d\left ( { AB;\left ( { SCD } \right ) } \right )=d\left ( { A;\left ( { SCD } \right ) } \right )=2d\left ( { O;\left ( { SCD } \right ) } \right ) $ Xét tam giác vuông $ ABC $ có $ AC=2\sqrt[] { 2 }⇒OC=\sqrt[] { 2 }\,,SC=2\sqrt[] { 2 }⇒SO=\sqrt[] { SC ^ { 2 } -OC ^ { 2 } }=\sqrt[] { 6 };\,\,OK=\frac { 1 } { 2 }AD=1 $ Xét tam giác vuông $ SOK $ có $ \frac { 1 } { OH ^ { 2 } }=\frac { 1 } { SO ^ { 2 } }+\frac { 1 } { OK ^ { 2 } }⇒OH=\frac { \sqrt[] { 42 } } { 7 }≈0,9 $. Do đó $ d\left ( { AB,SD } \right )=2OH=\frac { 2\sqrt[] { 42 } } { 7 }≈1,85 $.